Question

1．如图，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=$\sqrt{2}$．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起．现将△ABC保持不动，△DEF运动，且满足：点E在边BC上运动（不与B、C重合），且边DE始终经过点A，EF与AC交于M点．请问：（1）BC=2；
（2）在△DEF运动过程中，△AEM能否构成等腰三角形？若能，请求出BE的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可得结果；
（2）利用分类讨论的思想：①若AE=AM 则∠AME=∠AEM=45°，∠AME=∠C=45°，由外角性质可得此种情况不存在；②若AE=EM，则得△ABE≌△ECM，由全等三角形的性质，易得CE=AB=$\sqrt{2}$，BC=2，易得BE；③若MA=ME，则∠MAE=∠AEM=45°，证得AE平分∠BAC，利用等腰三角形的“三线合一”，可得BE=$\frac{1}{2}BC$=1．

解答 解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=$\sqrt{2}$，
∴BC=$\sqrt{{AB}^{2}{+AC}^{2}}$=2，
故答案为：2；

（2）①若AE=AM 则∠AME=∠AEM=45°，
∵∠C=45°，
∴∠AME=∠C，
又∵∠AME＞∠C，
∴这种情况不成立；
②若AE=EM，
∵∠B=∠AEM=45°，
∴∠BAE+∠AEB=135°，∠MEC+∠AEB=135°，
∴∠BAE=∠MEC，
在△ABE和△ECM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠BAE=∠CEM}\\{AE=EM}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ECM（AAS），
∴CE=AB=$\sqrt{2}$，
∵BC=2，
∴BE=2-$\sqrt{2}$；
③若MA=ME 则∠MAE=∠AEM=45°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE=45°，
∴AE平分∠BAC，
∵AB=AC，
∴BE=$\frac{1}{2}BC$=1．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质，利用勾股定理，分类讨论是解答此题的关键．