已知△ABC中.∠A=x°(1)如图1.若∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O.则用含x的代数式表示∠BOC.写出推理过程．(2)如图2.若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1.O2.则用含x的代数式表示∠BO1C.写出推理过程．(3)如图3.若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1.O2.-.On-1.则用含n.x的代数式表示∠BO1C.不需要推理过程.直接写出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

12．已知△ABC中，∠A=x°

（1）如图1，若∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，则用含x的代数式表示∠BOC，写出推理过程．
（2）如图2，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O₁、O₂，则用含x的代数式表示∠BO₁C，写出推理过程．
（3）如图3，若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O₁、O₂、…、O_n-1，则用含n，x的代数式表示∠BO₁C，不需要推理过程，直接写出结果．

分析（1）由∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，易得：2∠OBC=∠ABC，2∠OCB=∠ACB，又由三角形内角和定理，可得：∠A+2∠OBC+2∠OCB=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，即可求得∠BOC的值；
（2）由∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O₁、O₂，即可得∠O₁BC=$\frac{2}{3}$∠ABC，∠O₁CB=$\frac{2}{3}$∠ACB，又由三角形内角和定理，可得：∠A+$\frac{3}{2}$∠O₁BC+$\frac{3}{2}$∠O₁CB=180°，∠BO₁C+∠O₁BC+∠O₁CB=180°，即可求得∠BO₁C的值；
（3）观察（1）（2），即可得规律：若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O₁、O₂、…、O_n-1，
则∠BO₁C=（$\frac{180}{n}$+$\frac{n-1}{n}$x）°

解答解：（1）∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，
∴2∠OBC=∠ABC，2∠OCB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+2∠OBC+2∠OCB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠A=x°，
∴∠BOC=（90+$\frac{1}{2}$x）°；

（2）∵∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O₁、O₂，
∴∠O₁BC=$\frac{2}{3}$∠ABC，∠O₁CB=$\frac{2}{3}$∠ACB，
∴$\frac{3}{2}$∠O₁BC=∠ABC，$\frac{3}{2}$∠O₁CB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+$\frac{3}{2}$∠O₁BC+$\frac{3}{2}$∠O₁CB=180°，
∴∠O₁BC+∠O₁CB=$\frac{2}{3}$（180°-∠A），
∵∠BOC=180°-（∠O₁BC+∠O₁CB）=60°+$\frac{2}{3}$∠A，
∵∠A=x°，
∴∠BOC=（60+$\frac{2}{3}$x）°；

（3）由（1）（2）可得规律为：
若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O₁、O₂、…、O_n-1，
则用x表示∠BO₁C=（$\frac{180}{n}$+$\frac{n-1}{n}$x）°

点评此题考查了角的等分线的性质以及三角形内角和定理．注意找的规律：若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O₁、O₂、…、O_n-1，则用x表示∠BO₁C=（ $\frac{180}{n}$+$\frac{n-1}{n}$x）°，是解此题的关键．

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