Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，点B是抛物线与y轴交点．判断有几个位置能够使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

　

　

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，然后把点A、B、C的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可；

（2）根据图形的割补法，可得二次函数，根据抛物线的性质求出第三象限内二次函数的最值，然后即可得解；

（3）利用直线与抛物线的解析式表示出点P、Q的坐标，然后求出PQ的长度，再根据平行四边形的对边相等列出算式，然后解关于x的一元二次方程即可得解．

【解答】解：（1）将A（﹣4，0），C（2，0）两点代入函数解析式，得

解得

所以此函数解析式为：y=x²+x﹣4；

（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，

∴M点的坐标为：（m， m²+m﹣4），

∴S=S_△AOM+S_△OBM﹣S_△AOB

=×4×（m²+m﹣4）+×4×（﹣m）﹣×4×4

=﹣m²﹣2m+8﹣2m﹣8

=﹣m²﹣4m

=﹣（m+2）²+4，

∵﹣4＜m＜0，

当m=﹣2时，S有最大值为：S=﹣4+8=4．

答：m=﹣2时S有最大值S=4．

（3）∵点Q是直线y=﹣x上的动点，

∴设点Q的坐标为（a，﹣a），

∵点P在抛物线上，且PQ∥y轴，

∴点P的坐标为（a， a²+a﹣4），

∴PQ=﹣a﹣（a²+a﹣4）=﹣a²﹣2a+4，

又∵OB=0﹣（﹣4）=4，

以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形，

∴|PQ|=OB，

即|﹣a²﹣2a+4|=4，

①﹣a²﹣2a+4=4时，整理得，a²+4a=0，

解得a=0（舍去）或a=﹣4，

﹣a=4，

所以点Q坐标为（﹣4，4），

②﹣a²﹣2a+4=﹣4时，整理得，a²+4a﹣16=0，

解得a=﹣2±2，

所以点Q的坐标为（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）．

综上所述，Q坐标为（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）时，使点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形．

【点评】本题考查了二次函数综合题，有待定系数法求二次函数解析式；利用图形割补法得出二次函数的最值问题是解题关键；平行四边形的对边相等的性质，平面直角坐标系中两点间的距离的表示，综合性较强，但难度不大，仔细分析便不难求解．