Question

如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为　　　　　　．

　

Answer 1

　2　．

【考点】垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理；圆周角定理．

【专题】计算题．

【分析】连结BE，设⊙O的半径为R，由OD⊥AB，根据垂径定理得AC=BC=AB=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R﹣CD=R﹣2，根据勾股定理得到（R﹣2）²+4²=R²，解得R=5，则OC=3，由于OC为△ABE的中位线，则BE=2OC=6，再根据圆周角定理得到∠ABE=90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理可计算出CE．

【解答】解：连结BE，设⊙O的半径为R，如图，

∵OD⊥AB，

∴AC=BC=AB=×8=4，

在Rt△AOC中，OA=R，OC=R﹣CD=R﹣2，

∵OC²+AC²=OA²，

∴（R﹣2）²+4²=R²，解得R=5，

∴OC=5﹣2=3，

∴BE=2OC=6，

∵AE为直径，

∴∠ABE=90°，

在Rt△BCE中，CE===2．

故答案为：2．

【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理．