Question

直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=1，将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，在三角板旋转的过程中，边A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交  C B′，边于点E，连接BE．
（1）求证：△CAD∽△CBE；
（2）设AD=x，BE=y，求y与x之间的函数解析式；
（3）当S_△BDE′=

1

5

S_△ABC时，求AD的长．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据平行线分线段成比例得出

CD

CA′

=

CE

CB′

，再由旋转的性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE，由此得出△CAD∽△CBE；
（2）根据相似三角形的对应边成比例、直角三角形的性质及∠A=30°求得y=

3

3

x（0＜x＜2）；
（3）先根据三角形的面积公式先求出△ABC的面积，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情况讨论：当点D在AB边上时，AD=x，BD=AB-AD=2-x；当点D在AB的延长线上时，AD=x，BD=x-2，再根据S_△BDE=

1

2

BD×BE，代入相应的值求出x的值，即可得出答案．

解答：解：（1）当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图），
∵DE∥A'B'，
∴

CD

CA′

=

CE

CB′

，
由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．
∴

CD

CA

=

CE

CB

，
∴

CD

CE

=

CA

CB

，
∴△CAD∽△CBE．

（2）∵△CAD∽△CBE，
∴

BE

AD

=

BC

AC

．
∵∠A=30°，
∴

y

x

=

BC

AC

=

3

3

，
∴y=

3

3

x（0＜x＜2）；

（3）当0°＜α＜90°时，点D在AB边上，
AD=x，BD=AB-AD=2-x，∠DBE=90°．
此时，S=S_△BDE=

1

2

BD×BE=

1

2

（x-2）×

3 x

3

=

- 3 x2+2 3 x

6

．
当S=

1

3

S_△ABC时，

- 3 x2+2 3 x

6

=

3

6

．
整理，得x²-2x+1=0．
解得x₁=x₂=1，即AD=1．
当90°＜α＜120°时，点D在AB的延长线线上（如图），
设AD=x，则BD=x-2，∠DBE=90°．
S=S_△BDE=

1

2

BD×BE=

1

2

（x-2）×

3 x

3

=

3 x2-2 3 x

6

．
当S═

1

3

S_△ABC时，

3 x2-2 3 x

6

=

3

6

．
整理，得x²-2x-1=0．
解得 x₁=1+

2

，x₂=1-

2

（负值，舍去）．
即AD=1+

2

．
综上所述：AD=1或AD=1+

2

．

点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是平行线分线段成比例定理、相似三角形的判断与性质、旋转的性质以及三角形的面积公式等，关键是根据题意画出图形，注意分类讨论．