Question

【题目】如图1，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，A（5，0）且AB＝3OC，P为x轴上方抛物线上的动点（P不与A，B重合），过点P作PQ⊥x轴于点Q，作PM与x轴平行，交抛物线另一点M，以PQ，PM为邻边作矩形PQNM．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设矩形PQNM的周长为C，求C的取值范围；

（3）如图2，当P点与C点重合时，连接对角线PN，取PN上一点D（不与P，N重合），连接DM，作DE⊥DM，交x轴于点E．

①试求的值；

②试探求是否存在点D，使△DEN是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点D坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x+2；（2）C的取值范围是0≤C≤；（3）①2，②存在点D，使△DEN是等腰三角形，符合条件的点D坐标为（，）与（，2﹣）．

【解析】

（1）先求出点C坐标，由AB＝3OC和点A坐标得到点B坐标，用待定系数法即求出抛物线解析式．

（2）设点P坐标（p，），即能用p表示PQ；由PM∥x轴可知P、M关于抛物线对称轴对称，即P、M到对称轴的距离相等，故能用p表示M的横坐标，进而表示PM的长；由矩形PQNM周长等于PQ与PM的和的2倍，即用含p的二次式表示周长C，配方即得到其最值．再根据p的取值范围，即能求C的取值范围．

（3）①由P点与C点重合即求得P、M、N的坐标；由DE⊥DM，过D作x轴垂线FG，即构造出△MDG∽△DEF，所以.

②对点E在点N左侧和右侧进行分类讨论：若点E在点N左侧，先说明∠DEN为钝角，所以△DEN为等腰三角形时只有DE＝EN一种情况．设点D横坐标为d，求直线PN解析式即得到D的纵坐标，进而能用d表示所有线段的长，再在Rt△DEF中利用勾股定理列方程，即求出d的值；若点E在点N右侧，说明∠DNE为钝角，得DN＝EN，解题思路与第一种情况相同，即求出d的值．

（1）当x＝0时，y＝ax2+bx+2＝2

∴C（0，2），OC＝2

∴AB＝3OC＝6

∵A（5，0），即OA＝5

∴OB＝AB﹣OA＝1

∴B（﹣1，0）

把A、B坐标代入抛物线解析式得：

解得：

∴抛物线的函数表达式为

（2）设P（p， ）

∵PQ⊥x轴于Q，PM∥x轴

∴PQ＝，点P、M关于抛物线对称轴对称

∵抛物线对称轴：直线

∴xM＝2+（2﹣p）＝4﹣p

∴PM＝（4﹣p）﹣p＝4﹣2p

∴C＝2（PM+PQ）＝

∵﹣1＜p＜5

∴当p＝时，C有最大值为

∴C的取值范围是0≤C≤

（3）①过点D作GF⊥x轴于点F，交PM于G

∴∠DFE＝∠DGM＝90°，DF∥y轴

∴四边形MNFG是矩形，△DFN∽△PON

∴

∵P点与C点重合，P、M关于直线x＝2对

∴P（0，2），M（4，2），N（4，0）

∴GF＝MN＝OP＝2，PM＝ON＝4

∴

∵DE⊥DM

∴∠MDE＝90°

∴∠MDG+∠EDF＝∠EDF+∠DEF＝90°

∴∠MDG＝∠DEF

∴△MDG∽△DEF

∴

②存在点D，使△DEN是等腰三角形

设直线PN解析式为y＝mx+n

∴ 解得：

∴直线PN解析式为y＝﹣x+2

设D（d，﹣d+2）（0＜d＜4）

∴OF＝d，DF＝﹣d+2

∴FN＝ON﹣OF＝4﹣d，DG＝FG﹣DF＝2﹣（﹣d+2）＝d

∵△MDG∽△DEF

∴

∴EF＝DG＝d

①当点E在点N左侧时，如图1，

∵四边形DENM中，∠MDE＝∠MNE＝90°，∠DMN＜90°

∴∠DEN＝360°﹣∠MDE﹣∠MNE﹣∠DMN＝180°﹣∠DMN＞90°

∴当△DEN是等腰三角形时，DE＝EN＝FN﹣EF＝，

∵Rt△DEF中，DF2+EF2＝DE2

∴

解得：d1＝4（舍去），，

∴

∴点D坐标为

②当点E在点N右侧时，如图2，∠DNE＞90°

∴当△DEN是等腰三角形时，DN＝EN＝EF﹣FN＝,

∵Rt△DFN中，DF2+FN2＝DN2

∴

解得：，（舍去）

∴

∴点D坐标为

综上所述，符合条件的点D坐标为与．