Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上的任意一点．
（1）过A、B、D三点作⊙O，交线段AC于点E（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若

DE

=

DB

，求证：AB是⊙O的直径；
（3）在（2）的条件下，若AB=5，BC=6，求AE的长．

Answer 1

考点：作图—复杂作图

专题：

分析：（1）作AB与BD的垂线，交于点O，点O就是△ABD的外心，⊙O交线段AC于点E；
（2）连结DE，根据圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，即可得到AD是等腰三角形ABC底边上的高线，从而证明AB是⊙O的直径；
（3）连结BE，根据勾股定理得到关于AE的方程，解方程即可求解．

解答：（1）解：如图1所示：


（2）证明：如图2，连结DE，AD．

∵过A、B、D三点作⊙O，交线段AC于点E，
∴A、B、D、E四点共圆，
∴∠DEC=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠DEC=∠ACB，
∴DE=CD，
∵

DE

=

DB

，
∴DE=BD，
∴CD=BD，
∴AD⊥BC，
∴AB是⊙O的直径；

（3）如图3，连结BE．

∵AB是⊙O的直径，
∴BE⊥AC，
由勾股定理可得，AB²-AE²=BC²-（AC-AE）²，即5²-AE²=6²-（5-AE）²，
解得AE=1.4．
故AE的长是1.4．

点评：考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的作法，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，方程思想的应用．