Question

3．根据道路管理规定，在贺州某段笔直公路上行驶的车辆，限速40千米/时，已知交警测速点M到该公路A点的距离为10$\sqrt{2}$米，∠MAB=45°，∠MBA=30°（如图所示），现有一辆汽车由A往B方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用的时间为3秒．
（1）求测速点M到该公路的距离；
（2）通过计算判断此车是否超速．（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{5}$≈2.24）

Answer 1

分析 （1）过M作MN垂直于AB，在直角三角形AMN中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出MN的长，即可得到结果；
（2）由三角形AMN为等腰直角三角形得到AN=MN=10米，在直角三角形BMN中，利用锐角三角函数定义求出BN的长，由AN+NB求出AB的长，根据路程除以时间得到速度，即可做出判断．

解答 解：（1）过M作MN⊥AB，
在Rt△AMN中，AM=10$\sqrt{2}$，∠MAN=45°，
∴sin∠MAN=$\frac{MN}{AM}$，即$\frac{MN}{10\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：MN=10，
则测速点M到该公路的距离为10米；

（2）由（1）知：AN=MN=10米，
在Rt△MNB中，∠MBN=30°，
由tan∠MBN=$\frac{MN}{BN}$，得：$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{10}{BN}$，
解得：BN=10$\sqrt{3}$（米），
∴AB=AN+NB=10+10$\sqrt{3}$≈27.3（米），
∴汽车从A到B的平均速度为27.3÷3=9.1（米/秒），
∵9.1米/秒=32.76千米/时＜40千米/时，
∴此车没有超速．

点评 此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．