Question

【题目】已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM, △CBN都是等边三角形，AM=AC=CM，BC=CN=BN，∠ACM=∠BCN=60°，AN交MC于点E，BM交CN于点F.

(1)求证：AN=BM;

(2)求证：判断△CEF形状

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）△CEF是等边三角形，理由见解析.

【解析】

（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△ACN≌△MCB，结论得证；

（2）由（1）中的全等可得∠CAN=∠CMB，进而得出∠MCF=∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE=CF，又ECF=60°，所以△CEF为等边三角形．

（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，

∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=∠NCB=60°，

∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，即∠ACN=∠MCB，

在△ACN和△MCB中， ，

∴△ACN≌△MCB（SAS），

∴AN=BM；

（2）△CEF是等边三角形，

理由：∵△CAN≌△CMB，

∴∠CAN=∠CMB，

又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，

∴∠MCF=∠ACE，

在△CAE和△CMF中，，

∴△CAE≌△CMF（ASA），

∴CE=CF，

∴△CEF为等腰三角形，

又∵∠ECF=60°，

∴△CEF为等边三角形．