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【题目】如图,在平面直角坐标系中,RtAOC的直角边OAy轴正半轴上,且顶点O与坐标原点重合,点C的坐标为(12),直线y=﹣x+b过点C,与x轴交于点B,与y轴交于点D

1B点的坐标为   D点的坐标为   

2)动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度,沿OAC的路线向点C运动,同时动点Q从点B出发,以相同速度沿BO的方向向点O运动,过点QQHx轴,交线段BC或线段CO于点H.当点P到达点C时,点P和点Q都停止运动,在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒:

①设△CPH的面积为S,求S关于t的函数关系式;

②是否存在以QPH为顶点的三角形的面积与S相等?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.

【答案】1)(30);(03);(2)①S ;②存在,t1时,以QPH为顶点的三角形的面积与S相等.

【解析】

1)把点C坐标代入直线求得b的值即得到直线解析式,令y0求点B坐标,令x0求点D坐标.

2)①由RtAOC中∠OAC90°求得OA+ACOB3,即t的取值范围为0≤t3t≠2.画图发现有两种情况:当0≤t2时,点P在线段OA上,点H在线段BC上,可证得PHx轴,故SSCPHPHAP,用t表示PHAP的值再代入即能用t表示S;当2t3时,点P在线段AC上,点H在线段OC上,此时以PC为底、点HCP距离h为高来求S,用t表示CPh的值再代入即能用t表示S.再把两式统一写成S关于t的分段函数关系式.

②与①类似把点PQ的位置分两种情况讨论计算;其中PAC上、HOC上时,以QH为底求QPH的面积,需对点PQH的距离PE的表示再进行一次分类.用t表示QPH面积后与S相等列得方程,解之求得t的值.

解:(1)∵直线y=﹣x+b过点C12

∴﹣1+b2

b3,即直线为y=﹣x+3

y0时,﹣x+30,得x3;当x0时,y3

B30),D03

故答案为:(30);(03).

2)①∵RtAOC中,∠OAC90°C12

A02),OA2AC1

OBOD3,∠BOD90°

OA+ACOB3,∠OBD45°

0≤t3,且t≠2

i)当0≤t2时,点P在线段OA上,点H在线段BC上,如图1

OPBQt

APOAOP2tOQOBBQ3t

HQx轴于点Q

∴∠BQH90°

∴△BQH是等腰直角三角形

HQBQt

HQOPHQOP

∴四边形OPHQ是平行四边形

PHx轴,PHOQ3t

SSCPHPHAP3t)(2t)=t2t+3

ii)当2t3时,点P在线段AC上,点H在线段OC上,如图2

CPOA+ACt3txHOQ3t

∵直线OC解析式为:y2x

QHyH23t)=62t

∴点HCP的距离h2﹣(62t)=2t4

SSCPHCPh3t)(2t4)=﹣t2+5t6

综上所述,S关于t的函数关系式为S

②存在以QPH为顶点的三角形的面积与S相等.

i)当0≤t2时,如图3

SCPHSQPH,两三角形有公共底边为PH

∴点C和点QPH距离相等,即APOP

t2t

t1

ii)当2t≤2.5时,如图4,延长QHAC于点E

AEOQ3tAPt2QH62t

PEAEAP=(3t)﹣(t2)=52t

SQPHQHPE62t)(52t)=2t211t+15

SCPHSQPH

∴﹣t2+5t62t211t+15

解得:t13(舍去),t2

iii)当2.5t3时,如图5,延长QHAC于点E

PEAPAE=(t2)﹣(3t)=2t5

SQPHQHPE62t)(2t5)=﹣2t2+11t15

∴﹣t2+5t6=﹣2t2+11t15

解得:t1t23(舍去)

综上所述,t1时,以QPH为顶点的三角形的面积与S相等.

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