Question

【题目】(1)如图，在△ABC中，∠ACB=900，AC=12，BC=5，AM=AC,BN=BC,求MN的长．

(2)如图，在△ABC中，∠ACB=900，AM=AC,BN=BC

当∠A=300时，求∠MCN的度数。

当∠A的度数变化时，∠MCN的度数是否变化，如有变化，请说明理由；如不变，求∠MCN的度数．

(3)如图，在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC,点M、N在边AB上，且∠MCN=450，试猜想线段AN、BM、MN之间的数学关系，直接写出你的结论（不要求证明）．

Answer 1

【答案】(1)MN=4 ；(2) ① ∠MCN=45°；②∠MCN=45°；(3)AN2+BM2=MN2

【解析】

（1）根据勾股定理求出AB的长即可解答；

（2）①由题知∠ACB=90°，AM=AC，BN=BC，∠A=30°，求出∠AMC和∠CNB即可求出∠MCN的度数，②分别用∠A表示出∠AMC和∠CNB，即可得出∠MCN的度数；

（3）作△CAN关于CN所在直线的轴对称三角形CPN，连接MP，可证明∠MCP=∠MCB，即可证明△BCM≌△PCM，则MP=BM，∠MPC=∠B=45°，∠MPN=∠MPC+∠NPC=90°，即可得出结论.

解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB=，

又∵AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，

∴AM=12，BN=5，

∴MN=AM+BN-AB=12+5-13=4；

（2）①∵∠A=30°，AC=AM，

∴∠AMC=（180°-30°）=75°，

∵∠B=60°，BC=BN，

∴∠CNB=（180°-60°）=60°，

∴∠MCN=180°-60°-75°=45°；

②当∠A的度数变化时，∠MCN的度数不变化，理由如下：

∵∠AMC=（180°-∠A），∠BNC=（180°-∠B），

∴∠MCN=180°-∠AMC-∠BNC=（∠A+∠B）=45°；

（3）AN2+BM2=MN2理由如下：

如图，作△CAN关于CN所在直线的轴对称△CPN，连接MP，

则CP=CA，PN=AN，∠ACN=∠PCN，∠CPN=∠A=45°，

∵AC=BC，

∴CP=CB，

∵∠ACB=90°，∠MCN=45°，

∴∠MCP+∠NCP=45°，∠ACN+∠BCM=45°，

∴∠MCP=∠MCB，

在△BCM和△PCM中，

∴△BCM≌△PCM（SAS），

∴MP=MB，∠MPC=∠B=45°，

∴∠MPN=∠MPC+∠NPC=90°，

∴在Rt△PMN中PN2+PM2=MN2即AN2+BM2=MN2．