【题目】如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点,其中点A(0,1),B(9,10),AC∥x轴,点P是直线AC下方抛物线上的动点。
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E.F,当四边形AECP的面积最大时,求点P的坐标和四边形AECP的最大面积;
(3)当点P为抛物线的顶点时,在直线AC上是否存在点Q,使得以C.P、Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。
【答案】(1) y= x2x+1;(2) 四边形AECP的面积最大值是,此时P(,);
(3) Q点的坐标为(4,1)或(3,1),理由见解析.
【解析】分析:(1)把点A,B的坐标代入抛物线的解析式中,求b,c;(2)设P(m,m22m+1),根据S四边形AECP=S△AEC+S△APC,把S四边形AECP用含m式子表示,根据二次函数的性质求解;(3)设Q(t,1),分别求出点A,B,C,P的坐标,求出AB,BC,CA;用含t的式子表示出PQ,CQ,判断出∠BAC=∠PCA=45°,则要分两种情况讨论,根据相似三角形的对应边成比例求t.
详解:(1)将A(0,1),B(9,10)代入函数解析式得:
×81+9b+c=10,c=1,解得b=2c=1,
所以抛物线的解析式y=x22x+1;
(2)∵AC∥x轴,A(0,1),
∴x22x+1=1,解得x1=6,x2=0(舍),即C点坐标为(6,1),
∵点A(0,1),点B(9,10),
∴直线AB的解析式为y=x+1,设P(m,m22m+1),∴E(m,m+1),
∴PE=m+1(m22m+1)=m2+3m.
∵AC⊥PE,AC=6,
∴S四边形AECP=S△AEC+S△APC=ACEF+ACPF
=AC(EF+PF)=ACEP
=×6(m2+3m)=m2+9m.
∵0<m<6,
∴当m=时,四边形AECP的面积最大值是,此时P();
(3)∵y=x22x+1=(x3)22,
P(3,2),PF=yFyp=3,CF=xFxC=3,
∴PF=CF,∴∠PCF=45,
同理可得∠EAF=45,∴∠PCF=∠EAF,
∴在直线AC上存在满足条件的点Q,
设Q(t,1)且AB=,AC=6,CP=,
∵以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似,
①当△CPQ∽△ABC时,
CQ:AC=CP:AB,(6t):6=,解得t=4,所以Q(4,1);
②当△CQP∽△ABC时,
CQ:AB=CP:AC,(6t)6,解得t=3,所以Q(3,1).
综上所述:当点P为抛物线的顶点时,在直线AC上存在点Q,使得以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似,Q点的坐标为(4,1)或(3,1).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,把一个边长为a的正方形分成9个完全相同的小正方形,把最中间的一个小正方形涂成白色(图①),再对其他8个小正方形作同样的分割(分成9个完全相同的小正方形,把最中间的一个小正方形涂成白色(图②),继续同样的方法分割图形(图③),…得到一些既复杂又漂亮的图形,它的每一部分放大,都和整体一模一样,它是波兰数学家谢尔宾斯基构造的,也被称为“谢尔宾斯基地毯”.求:
(1)图③中最新的一个最小正方形的边长;
(2)图③中所有涂黑部分的面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为:A(1,1),B(3,2),C(1,4).
(1)将△ABC先向下平移4个单位,再向右平移1个单位,画出第二次平移后的△A1B1C1.若将△A1B1C1看成是△ABC经过一次平移得到的,则平移距离是________.
(2)以原点为对称中心,画出与△ABC成中心对称的△A2B2C2.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知AB为⊙O的直径,点E在⊙O上,∠EAB的平分线交⊙O于点C,过点C作AE的垂线,垂足为D,直线DC与AB的延长线交于点P.
(1)判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若tan∠P=,AD=6,求线段AE的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】长沙市马王堆蔬菜批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种蔬菜为了加快销售,该批发商对价格进行两次下调后,售价降为每千克元.
求平均每次下调的百分率;
某大型超市准备到该批发商处购买2吨该蔬菜,因数量较多,该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择方案一:打八折销售;方案二:不打折,每吨优惠现金1000元试问超市采购员选择哪种方案更优惠?请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】问题情景:如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数.
(1)数学活动小组经过讨论形成下列推理,请你补全推理依据.
如图2,过点P作PE∥AB,
∵PE∥AB(作图知)
又∵AB∥CD,
∴PE∥CD.( )
∴∠A+∠APE=180°.
∠C+∠CPE=180°.( )
∵∠PAB=130°,∠PCD=120°,
∴∠APE=50°,∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.
问题迁移:
(2)如图3,AD∥BC,当点P在A、B两点之间运动时,∠ADP=α,∠BCP=β,求∠CPD与α、β之间有何数量关系?请说明理由.
问题解决:
(3)在(2)的条件下,如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合),请你直接写出∠CPD与α、β之间的数量关系 .
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】让我们轻松一下,做一个数字游戏。第一步:取一个自然数n1=5,计算n12+1得a1;第二步:算出a1的各位数字之和得n2,计算n22+1得a2;第三步,算出a2的各位数字之和得n3,计算n32+1得a3;…………以此类推,则a2019=__________.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】有3张纸牌,分別是红桃3、红桃4和黑桃5(简称红3,红4,黑5).把牌洗匀后甲先抽取一张,记下花色和数字后将牌放回,洗匀后乙再抽取一张.
(1)两次抽得纸牌均为红桃的概率;(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)
(2)甲、乙两人做游戏,现有两种方案.A方案:若两次抽得花色相同则甲胜,否则乙胜.B方案:若两次抽得纸牌的数字和为奇数则甲胜,否则乙胜.请问甲选择哪种方案胜率更高?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为进一步推进青少年阳光工程,树立“每天锻炼一小时,快乐学习一整天”的指导思想,郑州市教育局部署了校园阳光大课间活动郑州市某中学体育组为了了解七年级学生的体能情况,组织七年级学生进行了1分钟跳绳测试,并将测试成绩(即1分钟跳绳的个数)分段后给出相应等级,具体为:测试成绩在60~90范围内的记为D级,90~120范围内的记为C级,120~150范围内的记为B级,150~180及以上范围内的记为A级,并绘出了测试成绩频数分布直方图及扇形统计图,其中在扇形统计图中A级对应的圆心角为54°,
请根据图中的信息解答下列问题:
(1)在扇形统计图中,A级所占百分比为 %;
(2)在扇形统计图中,求D级对应的圆心角的度数;
(3)请结合统计图给出合理的运动建议.(至少写出两条)
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com