Question

20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=45°，点D是AB中点，AF⊥CD于点H，交BC于点F，BE∥AC交AF的延长线于点E，给出下列结论：①∠BAE=∠ACD，②△ADC≌△BEA，③AC=AF，④∠BDE=∠EDC，⑤BC⊥DE．上述结论正确的序号是（　　）

• A． ①②⑤
• B． ②④⑤
• C． ①②④
• D． ①②③

Answer 1

分析 由∠BAE+∠FAC=90°，∠ACD+∠FAC=90°，得出∠BAE=∠ACD，①正确；由ASA证明△ADC≌△BEA，②正确；由AC=AB＞AF，得出③不正确；由全等三角形的性质得出AD=BE，由AD=BD，得出BE=BD，∠BDE=45°≠∠EDC，④不正确；由等腰直角三角形的三线合一性质得出⑤正确；即可得出结论．

解答 解：∵∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAE+∠FAC=90°，
∴AB=AC，∠CBA=∠ACB=45°，
∵AF⊥CD，
∴∠AHC=90°，
∴∠ACD+∠FAC=90°，
∴∠BAE=∠ACD，①正确；
∵BE∥AC，
∴∠ABE+∠BAC=180°，
∴∠ABE=90°，
在△ADC和△BEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠ABE=90°}&{\;}\\{AC=AB}&{\;}\\{∠ACD=∠BAE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BEA（ASA），②正确；
∵AC=AB＞AF，
∴③不正确；
∵△ADC≌△BEA，
∴AD=BE，
∵点D是AB中点，
∴AD=BD，
∴BE=BD，
∴∠BDE=45°≠∠EDC，④不正确；
∵∠ABE=90°，BE=BD，∠CBA=45°，
∴∠EBP=45°，
即BP平分∠ABE，
∴BP⊥DE，
即BC⊥DE，⑤正确．
故选：A．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．