Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OA=2，OB=OC=6，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）连接BD，若点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标：

（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请求出点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1），D（2，8）；（2）F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，）；（3）满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．

【解析】

（1）由OA=2，OB=OC=6，写出A、B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点D即可；

（2）过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；

（3）由于M、N两点关于对称轴对称，可知点P为对称轴与x轴的交点，点Q在对称轴上，可设出Q点的坐标，则可表示出M的坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．

解：（1）∵OA=2，OB=OC=6，∴A（﹣2，0），B（6，0），C（0，6），

∴可设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣6），

把C点的坐标代入可得6=﹣12a，解得：a=，

∴抛物线解析式为y=（x+2）（x﹣6）=x2+2x+6；

∴D（2，8）；

（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（m，m2+2m+6），

则FG=|m2+2m+6|．

∵B（6，0），D（2，8），

∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，

∴BG=6﹣m，

∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，

∴△FBG∽△BDE，∴．

∴，

当点F在x轴上方时，有，

解得：x=﹣1或x=6（舍去），

此时F点的坐标为（﹣1，），

当点F在x轴下方时，有，

解得：x=﹣3或x=6（舍去），

此时F点的坐标为（﹣3，），

综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，）；

（3）如图2，设对角线MN、PQ交于点O'，

∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，

∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，

QO'=MO'=PO'=NO'，PQ⊥MN，

设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n）．

∵点M在抛物线y=x2+2x+6的图象上，

∴n=（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，

解得：n=﹣1+或n=﹣1﹣，

∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．