【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+8ax(a>0)与x轴交于O,A两点,顶点为M,对称轴与x轴交于H,与过O,A,M三点的⊙Q交于点B,⊙Q的半径为5,点C从点B出发,沿着圆周顺时针向点M运动,射线MC与x轴交于D,与抛物线交于E,过点E作ME的垂线交抛物线的对称轴于点F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点C的运动路径长为 时,求证:HD=2HA.
(3)在点C运动过程中.是否存在这样的位置,使得以点M,E,F为顶点的三角形与△AHQ相似?若存在,求出此位置时点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2+4x;(2)证明见解析;(3)存在,E(, )或E(, )
【解析】
(1)利用函数解析式,由y=0可求出抛物线与x轴的两交点坐标,利用垂径定理求出AH的长,再在Rt△AHQ中,利用勾股定理求出HQ的长,由半径为5,可求出点M的坐标,然后将点M的坐标的函数解析式,建立关于a的方程,解方程求出a的值.
(2)利用弧长公式求出n的值,根据圆周角定理求出∠BMC的度数,在Rt△HMD中,利用勾股定理求出HD的长,再根据MH=2AH,可证得结论.
(3)分情况讨论:①当∠EMF=∠HQA时,△MEF∽△QHA,利用相似三角形的对应边成比例求出HD的长,可得到点D的坐标,再利用待定系数法求出直线MD的函数解析式,然后求出两函数的交点坐标;②当∠EMF=∠QAH时,△MEF∽△AHQ,利用相似三角形的对应边成比例求出HD的长,可得到点D的坐标,再利用待定系数法求出直线MD的函数解析式,然后求出两函数的交点坐标,即可得到符合题意的点E的坐标.
解:(1)令y=0,得ax2+8ax=0,解得x1=-8,x2=0,
∴A(-8,0)
由垂径定理,得AH=AO=4,
在Rt△AHQ中, HQ=,
∴HM=HQ+QM=3+5=8,
∴M(-4,-8)
把M(-4,-8)代入抛物线得,
解得a=,
∴抛物线的解析式为y=x2+4x
(2)∵点C的路径为,
∴,解得n=120°,
∴∠BMC==60°,
在Rt△HMD中, HD==MH
∵MH=8,AH=4,即MH=2HA
∴HD=2HA
(3)存在,E点坐标为(, )或(, ),理由如下:
已知∠FEM=∠AHQ=90°,
①当∠EMF=∠HQA时,△MEF∽△QHA,
此时△MHD∽△QHA,
∴,即
解得HD=,
∴OD=
∴D(0),
设直线MD解析式为,将M(-4,-8),D(0)代入得,
,解得,
∴直线MD的解析式为y=x-5,
将直线MD与抛物线联立得,
,解得或
此时E点坐标为(,);
②当∠EMF=∠QAH时,△MEF∽△AHQ,
此时△MHD∽△AHQ,
∴,即
解得HD=6,
∴OD=6-4=2
∴D(2,0),
设直线MD解析式为,将M(-4,-8),D(2,0)代入得,
,解得,
∴直线MD的解析式为
将直线MD与抛物线联立得,
,解得或
此时E点坐标为(,);
综上所述,E点坐标为(, )或(, ).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,以点为圆心,作交轴于、两点,交轴于、两点,连结并延长交于点,连结交轴于点,连结,.
(1)求弦的长;
(2)求直线的函数解析式;
(3)连结,求的面积.
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【题目】如图,已知抛物线与坐标轴交于A(﹣4,0)、B(2,0)、C(0,4),连接BC,AC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点E是抛物线在第二象限上的一点,过点E作DE⊥AC于点D,求DE的最大值.
(3)若点E是抛物线上第二象限上的一动点,过点E作DE⊥AC于点D,连接CE,若△CDE与△COB相似,直接写出点E的坐标.
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【题目】某公司在甲乙两地同时销售某种品牌的汽车,已知在甲地的总销售利润y(单位:万元)与销售量x(单位:辆)之间满足y=﹣x2+10x,在乙地每销售一辆汽车可获得2万元的销售利润,若该公司在甲乙两地共销售30辆该品牌的汽车,甲乙两地总的销售利润为W万元,其中在甲地销售x辆.
(1)求W与x的函数关系式;
(2)甲乙两地各销售多少辆车时W最大?W的最大值是多少?
(3)为了开拓甲地市场,公司规定甲地平均每辆汽车的销售利润不高于2万元,那么公司销售这30辆汽车可获得的最大销售利润是多少?
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【题目】如图,PA、PB为圆O的切线,切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D,下列结论不一定成立的是( )
A. PA=PBB. ∠BPD=∠APDC. AB⊥PDD. AB平分PD
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【题目】下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果:
每批粒数n | 100 | 300 | 400 | 600 | 1000 | 2000 | 3000 |
发芽的粒数m | 96 | 282 | 382 | 570 | 948 | 1904 | 2850 |
发芽的频率 | 0.960 | 0.940 | 0.955 | 0.950 | 0.948 | 0.952 | 0.950 |
下面有三个推断:
①当n为400时,发芽的大豆粒数为382,发芽的频率为0.955,所以大豆发芽的概率是0.955;
②随着试验时大豆的粒数的增加,大豆发芽的频率总在0.95附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计大豆发芽的概率是0.95;
③若大豆粒数n为4000,估计大豆发芽的粒数大约为3800粒.
其中推断合理的是( )
A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③
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【题目】二次函数的图象如图,点位于坐标原点,点在轴的正半轴上,点在二次函数位于第一象限的图象上,点在二次函数位于第二象限的图象上,四边形,四边形,四边形…四边形都是正方形,则正方形的周长为__________.
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【题目】如图,AB是的直径,C是半圆AB上一点,连AC、OC,AD平分,交弧BC于D,交OC于E,连OD,CD,下列结论:
①弧弧CD;②;③;④当C是半圆的中点时,则.其中正确的结论是( )
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
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