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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+8ax(a>0)x轴交于OA两点,顶点为M,对称轴与x轴交于H,与过OAM三点的⊙Q交于点B,⊙Q的半径为5,点C从点B出发,沿着圆周顺时针向点M运动,射线MCx轴交于D,与抛物线交于E,过点EME的垂线交抛物线的对称轴于点F.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当点C的运动路径长为 时,求证:HD=2HA.

(3)在点C运动过程中.是否存在这样的位置,使得以点MEF为顶点的三角形与AHQ相似?若存在,求出此位置时点E的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=x2+4x(2)证明见解析;(3)存在,E( )E( )

【解析】

(1)利用函数解析式,由y=0可求出抛物线与x轴的两交点坐标,利用垂径定理求出AH的长,再在Rt△AHQ中,利用勾股定理求出HQ的长,由半径为5,可求出点M的坐标,然后将点M的坐标的函数解析式,建立关于a的方程,解方程求出a的值.

(2)利用弧长公式求出n的值,根据圆周角定理求出∠BMC的度数,在Rt△HMD中,利用勾股定理求出HD的长,再根据MH=2AH,可证得结论.

(3)分情况讨论:∠EMF=∠HQA,△MEF∽△QHA,利用相似三角形的对应边成比例求出HD的长,可得到点D的坐标,再利用待定系数法求出直线MD的函数解析式,然后求出两函数的交点坐标;∠EMF=∠QAH,△MEF∽△AHQ,利用相似三角形的对应边成比例求出HD的长,可得到点D的坐标,再利用待定系数法求出直线MD的函数解析式,然后求出两函数的交点坐标,即可得到符合题意的点E的坐标.

解:(1)y=0,ax2+8ax=0,解得x1=-8,x2=0

∴A(-80)

由垂径定理,AH=AO=4,

Rt△AHQ, HQ=

HM=HQ+QM=3+5=8

∴M(-4-8)

M(-4,-8)代入抛物线得

解得a=

抛物线的解析式为y=x2+4x

(2)∵C的路径为,

,解得n=120°

∴∠BMC==60°,

Rt△HMD, HD==MH

∵MH=8,AH=4,MH=2HA

∴HD=2HA

(3)存在,E点坐标为( )( ),理由如下:

已知∠FEM=∠AHQ=90°

∠EMF=∠HQA,△MEF∽△QHA,

此时△MHD∽△QHA,

,

解得HD=

OD=

∴D(0)

设直线MD解析式为,将M(-4-8)D(0)代入得,

,解得

∴直线MD的解析式为y=x-5,

将直线MD与抛物线联立得,

,解得

此时E点坐标为()

∠EMF=∠QAH时,△MEF∽△AHQ,

此时△MHD∽△AHQ,

,即

解得HD=6

OD=6-4=2

∴D(2,0),

设直线MD解析式为,将M(-4-8)D(20)代入得,

,解得

∴直线MD的解析式为

将直线MD与抛物线联立得,

,解得

此时E点坐标为()

综上所述,E点坐标为( )( ).

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【题目】如图,在平面直角坐标系中,以点为圆心,作轴于两点,交轴于两点,连结并延长交于点,连结轴于点,连结.

1)求弦的长;

2)求直线的函数解析式;

3)连结,求的面积.

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1)求抛物线的解析式;

2)若点E是抛物线在第二象限上的一点,过点EDEAC于点D,求DE的最大值.

3)若点E是抛物线上第二象限上的一动点,过点EDEAC于点D,连接CE,若△CDE与△COB相似,直接写出点E的坐标.

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【题目】某公司在甲乙两地同时销售某种品牌的汽车,已知在甲地的总销售利润y(单位:万元)与销售量x(单位:辆)之间满足y=﹣x2+10x,在乙地每销售一辆汽车可获得2万元的销售利润,若该公司在甲乙两地共销售30辆该品牌的汽车,甲乙两地总的销售利润为W万元,其中在甲地销售x辆.

1)求Wx的函数关系式;

2)甲乙两地各销售多少辆车时W最大?W的最大值是多少?

3)为了开拓甲地市场,公司规定甲地平均每辆汽车的销售利润不高于2万元,那么公司销售这30辆汽车可获得的最大销售利润是多少?

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【题目】抛物线y=x2-(m+1)x+my轴交于(0-3).

(1)求出m的值和抛物线与x轴的交点;

(2)x取什么值时,y>0.

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【题目】如图,PAPB为圆O的切线,切点分别为ABPOAB于点CPO的延长线交圆O于点D,下列结论不一定成立的是( )

A. PAPBB. ∠BPD=∠APDC. AB⊥PDD. AB平分PD

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【题目】下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果:

每批粒数n

100

300

400

600

1000

2000

3000

发芽的粒数m

96

282

382

570

948

1904

2850

发芽的频率

0.960

0.940

0.955

0.950

0.948

0.952

0.950

下面有三个推断:

当n为400时,发芽的大豆粒数为382,发芽的频率为0.955,所以大豆发芽的概率是0.955;

随着试验时大豆的粒数的增加,大豆发芽的频率总在0.95附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计大豆发芽的概率是0.95;

若大豆粒数n为4000,估计大豆发芽的粒数大约为3800粒.

其中推断合理的是(  )

A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③

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【题目】二次函数的图象如图,点位于坐标原点,点轴的正半轴上,点在二次函数位于第一象限的图象上,点在二次函数位于第二象限的图象上,四边形,四边形,四边形四边形都是正方形,则正方形的周长为__________.

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【题目】如图,AB的直径,C是半圆AB上一点,连ACOCAD平分,交弧BCD,交OCE,连ODCD,下列结论:

①弧CD;②;③;④当C是半圆的中点时,则.其中正确的结论是(

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

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