Question

【题目】如图1，等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，BD=CE，连AD、BE．

（1）求证：△CAD≌△ABE；

（2）如图2，延长FE至点G，使得FG=FA，连AG，试判断△AFG的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，连CF，若CF⊥AD，求证：CF⊥CG．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

（1）由等边三角形的性质可得：∠BAC=∠ACD=60°，AB=AC=BC，再结合已知得出CD=AE，最后运用SAS即可证明；

（2）由（1）△CAD≌△ABE，可得∠CAD=∠ABE，进而得出∠AFE=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，即可说明其为等边三角形；

（3）由（2）知△AFG是等边三角形，进一步说明∠BAF=∠CAG，运用（SAS）判定△ABF≌△ACG，得出∠CGF=∠AGC-∠AGF=60°=∠AFG，则AD∥CG，即可得出结论

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠ACD=60°，AB=AC=BC，

∵BD=CE，

∴CD=AE，

在△CAD和△ABE中，，

∴△CAD≌△ABE（SAS）；

（2）由（1）知，△CAD≌△ABE，

∴∠CAD=∠ABE，

∴∠AFE=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，

∵FG=FA，

∴△AFG是等边三角形；

（3）由（2）知，△AFG是等边三角形，

∴AF=AG，∠AFE=∠AGF=∠FAG=60°=∠BAC，

∴∠BAF=∠CAG，

在△ABF和△ACG中，，

∴△ABF≌△ACG（SAS），

∴∠AGC=∠AFB=180°-∠AFG=60°，

∴∠CGF=∠AGC-∠AGF=60°=∠AFG，

∴CG∥AD，

∵CF⊥AD，

∴CF⊥CG．