【题目】如图,一次函数与反比例函数的图象相交于A(2,2),B(n,4)两点,连接OA、OB.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△AOB的面积;
(3)在直角坐标系中,是否存在一点P,使以P、A、O、B为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)一次函数的解析式为,反比例函数的解析式为;(2)的面积为;(3)存在,点的坐标为(-3,-6),(1,-2)(3,6).
【解析】
(1)根据反比例函数图象上点的坐标特征可求出k2和n的值,可得反比例函数解析式,再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式;
(2)设一次函数与轴交于点,过点、分别向轴作垂线,垂足为点、,令x=0,可求出点C的坐标,根据即可得答案;
(3)分OA、OB、AB为对角线三种情况,根据A、B坐标可得直线OA、OB的解析式,根据互相平行的两条直线斜率相同可知直线OP、AP、BP的斜率,利用待定系数法可求出其解析式,进而联立解析式求出交点坐标即可得答案.
(1)∵点,在反比例函数上,
∴,,
∴,,
∴,,
∵点,在一次函数上,
∴,,
∴,,
∴,
∴一次函数的解析式为,反比例函数的解析式为.
(2)如图,设一次函数与y轴交于点,过点、分别向轴作垂线,垂足为点、,
∵当时,,
∴点的坐标为,
∵,,
∴,,
∴,
即的面积为.
(3)∵点A(2,2),B(-1,-4),
∴直线OA的解析式为y=x,直线OB的解析式为y=4x,直线AB的解析式为y=2x-2,
①如图,当OA//PB,OP//AB时,
∴直线OP的解析式为y=2x+b1,
设直线PB的解析式为y=x+b1,
∵点B(-1,-4)在直线上,
∴-4=-1+b1,
解得:b1=-3,
∴直线PB的解析式为y=x-3,
联立直线OP、BP解析式得:,
解得:,
∴点P坐标为(-3,-6),
②如图,当OB//AP,OA//BP时,同①可得BP解析式为y=x-3,
设AP的解析式为y=4x+b2,
∵点A(2,2)在直线AP上,
∴2=2×4+b2,
解得:b2=-6,
∴直线AP的解析式为y=4x-6,
联立PB和AP解析式得:,
解得:,
∴点P坐标为(1,-2),
③如图,当OP//AB,OB//AP时,
同①②可得:直线OP的解析式为y=2x,直线AP的解析式为y=4x-6,
联立直线OP和AP解析式得:,
解得:,
∴点P坐标为(3,6),
综上所述:存在点P,使以P、A、O、B为顶点的四边形是平行四边形,点的坐标为(-3,-6),(1,-2)(3,6).
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【题目】如图,已知在△ABC中,点D、点E在BC边上,且.
(1)求证:△ABD∽△CBA.
(2)若△ACE∽△BCA,判定△ADE的形状,并说明理由;
(3)在(1)和(2)的条件下,若tan∠ADC=2,DE=6,请求出AE的长.
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【题目】商场销售某种冰箱,该种冰箱每台进价为2500元,已知原销售价为每台2900元时,平均每天能售出8台.若在原销售价的基础上每台降价50元,则平均每天可多售出4台.设每台冰箱的实际售价比原销售价降低了元.
(1)填表:
每天的销售量/台 | 每台销售利润/元 | |
降价前 | 8 | 400 |
降价后 |
(2)商场为使这种冰箱平均每天的销售利润达到最大时,则每台冰箱的实际售价应定为多少元?
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【题目】现有四张正面分别印有和四种图案,并且其余完全相同的卡片,现将印有图案的一面朝下,并打乱摆放顺序,请用列表或画树状图的方法解决下列问题:
(1)现从中随机抽取一张,记下图案后放回,再从中随机抽取一张卡片,求两次摸到的卡片上印有图案都是轴对称图形的概率;
(2)现从中随机抽取-张,记下图案后不放回,再从中随机抽取一张卡片,求两次摸到的卡片上印有图案都是中心对称图形的概率.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象与反比例函数的图象交于A、B两点,且与x轴交于点C,与y轴交于点D,A点的横坐标与B点的纵坐标都是3.
(1)求一次函数的表达式;
(2)求△AOB的面积;
(3)写出不等式kx+b>﹣的解集.
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【题目】如图,已知⊙O的直径AB=10,弦AC=6,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线.
(2)求DE的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点,点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,-3),动点P在抛物线上.
(1)b =_________,c =_________,点B的坐标为_____________;(直接填写结果)
(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.
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【题目】如图,平面直角坐标系xOy中,四边形OABC的边OA在x轴正半轴上,BC∥x轴,∠OAB=90°,点C(3,2),连接OC.以OC为对称轴将OA翻折到OA′,反比例函数y=的图象恰好经过点A′、B,则k的值是( )
A. 9B. C. D. 3
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