Question

【题目】如图，已知在△ABC中，点D、点E在BC边上，且．

（1）求证：△ABD∽△CBA．

（2）若△ACE∽△BCA，判定△ADE的形状，并说明理由；

（3）在（1）和（2）的条件下，若tan∠ADC＝2，DE＝6，请求出AE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）△ADE是等腰三角形，理由详见解析；（3）3．

【解析】

（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可证明．

（2）结论：△ADE是等腰三角形．理由相似三角形的性质证明∠ADE＝∠AED即可．

（3）作AH⊥DE于H．解直角三角形求出AD即可解决问题．

（1）证明：∵ ，∠B＝∠B，

∴△ABD∽△CBA．

（2）结论：△ADE是等腰三角形．

理由：∵△ACE∽△BCA，

∴∠AEC＝∠BAC，

∵△ABD∽△CBA，

∴∠BAC＝∠BDA，

∴∠BDA＝∠CEA，

∴AD＝AE，

∴△ADE是等腰三角形．

（3）如图，作AH⊥DE于H．

∵AD＝AE，AH⊥DE，

∴DH＝HE＝DE＝3，

∵tan∠ADE＝＝2，

∴AH＝6，

∴AD＝AE＝ ＝3．