【题目】在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1 , 旋转角为θ(0°<θ<90°),连接AC1、BD1 , AC1与BD1交于点P.
(1)如图1,若四边形ABCD是正方形.
①求证:△AOC1≌△BOD1 .
②请直接写出AC1 与BD1的位置关系.
(2)如图2,若四边形ABCD是菱形,AC=5,BD=7,设AC1=kBD1 . 判断AC1与BD1的位置关系,说明理由,并求出k的值.
(3)如图3,若四边形ABCD是平行四边形,AC=5,BD=10,连接DD1 , 设AC1=kBD1 . 请直接写出k的值和AC12+(kDD1)2的值.
【答案】
(1)
解:证明:如图1,
∵四边形ABCD是正方形,
∴OC=OA=OD=OB,AC⊥BD,
∴∠AOB=∠COD=90°,
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1,
∴OC1=OC,OD1=OD,∠COC1=∠DOD1,
∴OC1=OD1,∠AOC1=∠BOD1=90°+∠AOD1,
在△AOC1和△BOD1中
,
∴△AOC1≌△BOD1(SAS);
②AC1⊥BD1;
(2)
解:AC1⊥BD1.
理由如下:如图2,
∵四边形ABCD是菱形,
∴OC=OA= AC,OD=OB= BD,AC⊥BD,
∴∠AOB=∠COD=90°,
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1,
∴OC1=OC,OD1=OD,∠COC1=∠DOD1,
∴OC1=OA,OD1=OB,∠AOC1=∠BOD1,
∴ ,
∴△AOC1∽△BOD1,
∴∠OAC1=∠OBD1,
又∵∠AOB=90°,
∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°,
∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°,
∴∠APB=90°
∴AC1⊥BD1;
∵△AOC1∽△BOD1,
∴ = = = = ,
∴k= ;
(3)
解:如图3,与(2)一样可证明△AOC1∽△BOD1,
∴ = = = ,
∴k= ;
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1,
∴OD1=OD,
而OD=OB,
∴OD1=OB=OD,
∴△BDD1为直角三角形,
在Rt△BDD1中,
BD12+DD12=BD2=100,
∴(2AC1)2+DD12=100,
∴AC12+(kDD1)2=25.
【解析】(1)①如图1,根据正方形的性质得OC=OA=OD=OB,AC⊥BD,则∠AOB=∠COD=90°,再根据旋转的性质得OC1=OC,OD1=OD,∠COC1=∠DOD1 , 则OC1=OD1 , 利用等角的补角相等得∠AOC1=∠BOD1 , 然后根据“SAS”可证明△AOC1≌△BOD1;②由∠AOB=90°,则∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°,所以∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°,则∠APB=90°所以AC1⊥BD1;(2)图2,根据菱形的性质得OC=OA= AC,OD=OB= BD,AC⊥BD,则∠AOB=∠COD=90°,再根据旋转的性质得OC1=OC,OD1=OD,∠COC1=∠DOD1 , 则OC1=OA,OD1=OB,利用等角的补角相等得∠AOC1=∠BOD1 , 加上 ,根据相似三角形的判定方法得到△AOC1∽△BOD1 , 得到∠OAC1=∠OBD1 , 由∠AOB=90°得∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°,则∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°,则∠APB=90°,所以AC1⊥BD1;然后根据相似比得到 = = = ,所以k= ;(3)与(2)一样可证明△AOC1∽△BOD1 , 则 = = = ,所以k= ;根据旋转的性质得OD1=OD,根据平行四边形的性质得OD=OB,则OD1=OB=OD,于是可判断△BDD1为直角三角形,根据勾股定理得BD12+DD12=BD2=100,所以(2AC1)2+DD12=100,于是有AC12+(kDD1)2=25.
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【题目】如图,从①∠1=∠2;②∠C=∠D;③∠A=∠F三个条件中选出两个作为已知条件,另一个作为结论所组成的命题中,正确命题的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=100°,∠ACB的平分线交AB边于点E,在AC边取点D,使∠CBD=20°,连接DE,则∠CED的大小=_____(度).
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【题目】在△ABC中,∠BAC=90,AB=AC.点D为直线BC上一动点(点D不与点B、C重合),以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE,使DAE=90,连结CE.
探究:如图①,当点D在线段BC上时,证明BC=CE+CD.
应用:在探究的条件下,若AB=,CD=1,则△DCE的周长为_______.
拓展:(1)如图②,当点D在线段CB的延长线上时,BC、CD、CE之间的数量关系为_______.
(2)如图③,当点D在线段BC的延长线上时,BC、CD、CE之间的数量关系为_______.
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【题目】如图,Rt△AOB和Rt△COD中,∠AOB=∠COD=90°,∠B=40°,∠C=60°,点D在边OA上,将图中的△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周,在旋转的过程中,在第 秒时,边CD恰好与边AB平行.
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【题目】为了节省空间,家里的饭碗一般是摆起来存放的,如果6只饭碗(注:饭碗的大小形状都一样,下同)摆起来的高度为15cm,9只饭碗摆起来的高度为20cm,李老师家的碗橱每格的高度为36cm,则李老师一摞碗最多只能放__只.
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【题目】对于每个非零自然数n,抛物线y=x2﹣ x+ 与x轴交于An、Bn两点,以AnBn表示这两点间的距离,则A1B1+A2B2+…+A2017B2017的值是( )
A.
B.
C.
D.1
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【题目】如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.
(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举;
(2)求证:CF=EF.
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【题目】如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑,将其侧面抽象成如图2所示的几何图形,若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm,点P为眼睛所在位置,D为AO的中点,连接PD,当PD⊥AO时,称点P为“最佳视角点”,作PC⊥BC,垂足C在OB的延长线上,且BC=12cm.
(1)当PA=45cm时,求PC的长;
(2)若∠AOC=120°时,“最佳视角点”P在直线PC上的位置会发生什么变化?此时PC的长是多少?请通过计算说明.(结果精确到0.1cm,可用科学计算器,参考数据: ≈1.414, ≈1.732)
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