【题目】在中,,是边的中线,于,连结,点在射线上(与,不重合)
(1)如果
①如图1,
②如图2,点在线段上,连结,将线段绕点逆时针旋转,得到线段,连结,补全图2猜想、之间的数量关系,并证明你的结论;
(2)如图3,若点在线段 的延长线上,且,连结,将线段绕点逆时针旋转得到线段,连结,请直接写出、、三者的数量关系(不需证明)
【答案】(1)①60;②.理由见解析;(2),理由见解析.
【解析】
(1)①根据直角三角形斜边中线的性质,结合,只要证明是等边三角形即可;
②根据全等三角形的判定推出,根据全等的性质得出,
(2)如图2,求出,,求出,,根据全等三角形的判定得出,求出,推出,解直角三角形求出即可.
解:(1)①∵,,
∴,
∵,
∴,
∴是等边三角形,
∴.
故答案为60.
②如图1,结论:.理由如下:
∵,是的中点,,,
∴,,
∴,,,
∴,
∵,
∴,
∵线段绕点逆时针旋转得到线段,
∴,
在和中
,
∴,
∴.
(2)结论:.
理由:∵,是的中点,,,
∴,,
∴,,,
∴,
∵,
∴,
∵线段绕点逆时针旋转得到线段,
∴,
在和中
,
∴,
∴,
而,
∴,
在中,,
∴,
∴,
∴,
即.
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【题目】已知如图,在△ABC中,∠B=45°,点D是BC边的中点,DE⊥BC于点D,交AB于点E,连接CE.
(1)求∠AEC的度数;
(2)请你判断AE、BE、AC三条线段之间的等量关系,并证明你的结论.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,函数的图象与直线y=2x+1交于点A(1,m).
(1)求k、m的值;
(2)已知点P(n,0)(n≥1),过点P作平行于y轴的直线,交直线y=2x+1于点B,交函数的图象于点C.横、纵坐标都是整数的点叫做整点.
①当n=3时,求线段AB上的整点个数;
②若的图象在点A、C之间的部分与线段AB、BC所围成的区域内(包括边界)恰有5个整点,直接写出n的取值范围.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为M,直线y=m与抛物线交于点A,B,若△AMB为等腰直角三角形,我们把抛物线上A,B两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形,线段AB称为碟宽,顶点M 称为碟顶.
(1)由定义知,取AB中点N,连结MN,MN与AB的关系是_____.
(2)抛物线y=对应的准蝶形必经过B(m,m),则m=_____,对应的碟宽AB是_____.
(3)抛物线y=ax2﹣4a﹣(a>0)对应的碟宽在x 轴上,且AB=6.
①求抛物线的解析式;
②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P(xp,yp),使得∠APB为锐角,若有,请求出yp的取值范围.若没有,请说明理由.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,有下列6个结论:
①abc<0;
②b<a﹣c;
③4a+2b+c>0;
④2c<3b;
⑤a+b<m(am+b),(m≠1的实数)
⑥2a+b+c>0,其中正确的结论的有_____.
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【题目】如图,直线L:y=x,点A坐标为(0,1),过点A作y轴的垂线交直线L于点B1以OB1为边作等边三角形OA1B1,再过点A1作y轴的垂线交直线L于点B2,以OB2为边作等边三角形OA2B2,……,按此做法进行下去,点A2019的坐标为_____.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,D、D为⊙O上两点,CF⊥AB于点F,CE⊥AD交AD的延长线于点E,且CE=CF.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)连接CD、CB,若AD=CD=a,求四边形ABCD面积.
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【题目】如图,在正方形ABCD的边AB上取一点E,连接CE,将△BCE沿CE翻折,点B恰好与对角线AC上的点F重合,连接DF,若BE=2,则△CDF的面积是( )
A.1B.3C.6D.
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