Question

如图，在墙面OD（OD⊥OC）的右侧有一个Rt△ACB，∠ACB=90°，BC=3cm，AB=5cm，且OA=8cm，点P从点O出发，以1cm/s的速度在射线OA上运动，点Q在OD上运动，P、Q同时从O开始运动，设运动时间为t（s）．
（1）若△ABC与△POQ全等，则点Q的运动速度为

 

cm/s；
（2）当t为何值时，△ABP是直角三角形？

Answer 1

考点：全等三角形的判定,勾股定理的逆定理

专题：动点型

分析：（1）点Q的运动速度为xcm/s，则OQ=xtcm，OP=t•1=t（cm），由勾股定理求出AC=4cm，根据全等得出方程组，求出即可；
（2）根据题意得出两种情况，当∠BPA=90°时，此时P和C重合，当∠ABP=90°时，求出AP的长即可．

解答：解：（1）如图1，

设点Q的运动速度为xcm/s，则OQ=xtcm，OP=t•1=t（cm），
∵Rt△ACB，∠ACB=90°，BC=3cm，AB=5cm，
∴由勾股定理得：AC=4cm，
∵∠BCA=∠QOP=90°，
∴要使△ABC与△POQ全等，

xt=3 t=4

或

xt=4 t=3

，
解得：x=

4

3

或

3

4

，
故答案为：

4

3

或

3

4

；

（2）根据题意得：有两种情况：当∠BPA=90°时，此时P和C重合，如图2，

此时t=8+4=12；
当∠ABP=90°时，如图3，

∵∠ABP=∠ACB=90°，∠BAC=∠BAP，
∴△BAC∽△PAB，
∴

AB

AP

=

AC

AB

，
∴

5

AP

=

3

5

，
∴AP=

25

3

，
∴t=8+

25

3

=

49

3

，
所以当t=12秒或

49

3

秒时，△ABP是直角三角形．

点评：本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，注意要进行分类讨论，题目比较好，难度适中．