Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A，D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，D（﹣1，4）；（2）当x=时，S取最大值

【解析】

（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组，然后求得a、b的值可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可求得抛物线的解析式；
（2）先求得直线AD的解析式，然后可得到P（x，2x+6）．接下来依据S=PEyP可得到S与x的函数关系式，然后利用二次函数的性质可求得S的最大值以及此时x的值．

（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点

∴，

解得，

∴解析式为y=﹣x2﹣2x+3

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴抛物线顶点坐标D为（﹣1，4）．

（2）设AD为解析式为y=kx+b，且过点A（﹣3，0），D（﹣1，4），

则有，解得

∴AD的解析式为：y=2x+6，

∵P在AD上，

∴P（x，2x+6），

∴S =PEyP=（﹣x）（2x+6）

=﹣x2﹣3x（﹣3＜x＜﹣1），

当x=时，S取最大值．