Question

【题目】如图，在中，为直径，过点的直线与相交于点，是弦延长线上一点，，的平分线与分别相交于点，，是的中点，过点作，与，的延长线分别交于点，．

（1）求证：是的切线；

（2）若，．

①求的半径；

②连接，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①13；②

【解析】

（1）如图1，连接GO、GA，先根据角平分线的定义证明∠MAE=（∠BAC+∠BAD）=90°，由圆周角定理和同圆的半径相等得∠OGA=∠FAG，则OG∥AM，所以∠MGO=180-∠M=90，从而得结论；
（2）①延长GO交AE于点P，证明四边形MGPA为矩形，得GP=MA=18，∠GPA=90°，设OA=OG=r，则OP=18-r，根据勾股定理列方程解出即可；
②如图3，过M作MH⊥l，连接BC，延长NE交l于I，连接GO交延长交AE于P，tan∠MAH=tan∠ABE=tan∠BIA=，BI=2BE=20，根据三角函数计算MH，AH，CI的长，最后计算MH和HC的长，代入tan∠MCD=，可得结论．

（1）证明：如图1，连接，，

∵，的平分线与分别相交于点，，

∴．

∵，

∴．

∵是的中点，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

∵为半径，

∴是的切线．

（2）解：①如图2，连接并延长交于点，

∵，

∴四边形为矩形，

∴，，即，

∴．

设，则，

在中，∵，

∴，

解得：，

故的半径是13．

②如图3，过作，连接，延长交于，连接并延长交于，

由①知：，，

∴．

∵是的直径，

∴．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，．

∵，，，

∴，，，

∴，

∴，

∴．