Question

4．△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上（端点B除外），∠EDB=$\frac{1}{2}$∠C，BE⊥DE于点E，DE与AB相交于点F，过F作FM∥AC交BD于M．

（1）当AB=AC时（如图1），求证：①FM=MD；②FD=2BE；
（2）当AB=kAC时（k＞0，如图2），用含k的式子表示线段FD与BE之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）①利用等腰直角三角形得出结合平行线的性质得出∠DMF=∠MFD，进而得出答案；
②根据题意证明△BEF∽△DEB，然后利用相似三角形的性质，得到BE与FD的数量关系；
（2）首先证明△GBN∽△FDN，利用三角形相似的性质得到BE与FD的数量关系．

解答 （1）证明：①如图1，∵AB=AC，∠A=90°
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠EDB=$\frac{1}{2}$∠C
∴∠EDB=22.5°
∵FM∥AC，
∴∠FMB=45°，
∴∠MFD=22.5°，
∴∠DMF=∠MFD，
∴MF=MD；

②在△BEF和△DEB中
∵∠E=∠E=90°
∠EBF=∠EDB=22.5°
∴△BEF∽△DEB
如图1：作BG平分∠ABC，交DE于G点，
∴BG=GD，△BEG是等腰直角三角形
设EF=x，BE=y，
则：BG=GD=$\sqrt{2}$y，
FD=$\sqrt{2}$y+y-x，
∵△BEF∽△DEB
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{y}{y+\sqrt{2}y}$，
得：x=（$\sqrt{2}$-1）y，
∴FD=2BE；

（2）解：过点D作DG∥AC，交BE的延长线于点G，与BA交于点N，
∵DG∥AC，
∴∠GDB=∠C，
∵∠EDB=$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠EDB=∠GDE，
∵BE⊥DE，
∴∠BED=∠DEG，
在△DEG和△DEB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDG=∠EDB}\\{DE=DE}\\{∠GED=∠BED}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△DEB（ASA），
∴BE=$\frac{1}{2}$GB，∠BND=∠GNB=90°，∠EBF=∠NDF，
∴△GBN∽△FDN，
∴$\frac{GB}{FD}$=$\frac{NB}{ND}$，即$\frac{BE}{FD}$=$\frac{BN}{2DN}$，
又∵DG∥AC，
∴△BND∽△BAC，
∴$\frac{BN}{AB}$=$\frac{DN}{AC}$，
即$\frac{BN}{DN}$=$\frac{AB}{AC}$=k，
∴$\frac{BE}{FD}$=$\frac{k}{2}$，
∴FD=$\frac{2}{k}$BE．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，（1）利用等腰直角三角形的性质进行判定和计算．（2）结合图形利用三角函数和相似三角形进行计算求出线段间的关系．