Question

1．⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，D是直线BC上一点，直线AD交⊙O于点E，AE=9，DE=3，则AB的长等于$6\sqrt{3}$或$3\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 分D在线段BC上和D在线段BC的延长线上两种情况进行讨论，根据同弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠AEB，根据相似三角形的判定和性质得到AB²=AD•AE，代入计算即可．

解答 解：当D在线段BC上时，连接BE，
∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴∠ABC=∠AEB，又∠BAD=∠EAB，
∴△BAD∽△EAB，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴AB²=AD•AE=54，
AB=3$\sqrt{6}$；
当D在线段BC的延长线上时，连接BE，
同理，AB²=AD•AE=108，
AB=6$\sqrt{3}$，
故答案为：$6\sqrt{3}$或$3\sqrt{6}$．

点评 本题考查的是三角形外接圆、圆周角定理和相似三角形的判定和性质，掌握同弧所对的圆周角相等、相似三角形的判定和性质是解题的关键．注意分情况讨论思想的应用．