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【题目】如图,将锐角为的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与边长为4的正方形ABCD的顶点A重合,正方形ABCD固定不动,然后将三角板绕着点A旋转,的两边分别与正方形的边BCDC或其延长线相交于点EF,连结EF.在三角板旋转过程中,当的一边恰好经过BC边的中点时,则EF的长为_____

【答案】

【解析】

①当MA经过BC的中点E时,延长FDG,使DGBE,连接AG,先证△ABE≌△ADG,再证△GAF≌△EAF,利用勾股定理列出方程即可;②NA经过BC的中点H时,在CD上截取DQ=BE,连接AQ,同理证明△ABE≌△ADQSAS),再证明△QAF≌△EAFSAS)和△ABH≌△FCHASA),根据勾股定理列出方程即可解决问题.

解:①当MA经过BC的中点E时,延长FDG,使DGBE,连接AG,如下图所示,

ABCD是正方形,
ABAD,∠ABE=∠ADG=∠DAB90°

又∵BE=DG
∴△ABE≌△ADGSAS),
AEAG,∠DAG=∠EAB
∵∠EAF45°
∴∠DAF+∠EAB45°
∴∠DAF+∠DAG45°
∴∠GAF=∠EAF45°
AFAF
∴△GAF≌△EAF
EFGF
GFDFDGDFBE
EFDFBE

∵点EBC的中点,

BE=CE=2

FDx,则FGEF2xFC4x
RtEFC中,(x22=(4x222
x
EFx2
②当NA经过BC的中点H时,在CD上截取DQ=BE,连接AQ,如下图所示,

由情况①可知,△ABE≌△ADQSAS),
AEAQ,∠DAQ=∠EAB

∴∠DAQ+∠BAQ=∠EAB+∠BAQ=90°
∵∠EAF45°

∴∠QAF=∠EAF45°
AFAF
∴△QAF≌△EAFSAS),
EFQF

又∵点HBC的中点,

BH=CH

∵∠ABH=FCH,∠BHA=∠CHF

∴△ABH≌△FCHASA),

CF=AB=4

BEDQ=x,则EC4xEF=QF8x


CHBH2CFAB4
由勾股定理得到:(4x242=(8x2
x
EF8=
综上所述,EF的长为

故答案为:

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【题目】把下面的推理过程补充完整,并在括号内注明理由.

如图,已知∠B+BCD180°,∠B=∠D

试说明:∠E=∠DFE

解:∠B+BCD180°(已知)

ABCD   

∴∠B=∠DCE   

又∵∠B=∠D(已知)

∴∠DCE      

ADBE   

∴∠E=∠DFE   

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【题目】小明在解一元二次方程时,发现有这样一种解法:

如:解方程

解:原方程可变形,得:

直接开平方并整理,得.

我们称小明这种解法为平均数法”.

(1)下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程.

解:原方程可变形,得:

直接开平方并整理,得.

上述过程中的abcd表示的数分别为

(2)请用平均数法解方程:

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【题目】列方程,解应用题

甲乙两人相约周末到影院看电影,他们的家分别距离影院1200米和2000米,两人分别从家中同时出发,已知甲和乙的速度比是,结果甲比乙提前4分钟到达影院.

1)求甲、乙两人的速度?

2)在看电影时,甲突然接到家长电话让其15分钟内赶回家,时间紧迫改变速度,比来时每分钟多走25米,甲是否能按要求时间到家?

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【题目】某市某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划用这两种原料全部生产AB两种产品共50件,生产AB两种产品与所需原料情况如下表所示:

原料

型号

甲种原料(千克)

乙种原料(千克)

 A产品(每件)

 9

 3

 B产品(每件)

 4

 10

1)该工厂生产AB两种产品有哪几种方案?

2)如果该工厂生产一件A产品可获利80元,生产一件B产品可获利120元,那么该工厂应该怎样安排生产可获得最大利润?

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【题目】某校八年级学生全部参加初二生物地理会考,从中抽取了部分学生的生物考试成绩,将他们的成绩进行统计后分为ABCD四等,并将统计结果绘制成如下的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题

1)抽取了______名学生成绩;(2)请把条形统计图补充完整;

3)扇形统计图中等级D所在的扇形的圆心角度数是______

4)若ABC代表合格,该校初二年级有300名学生,求全年级生物合格的学生共约多少人

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【题目】如图,直角坐标系中,三角形ABC的顶点都在网格点上,其中A2, B43, C12).

1)将三角形ABC先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到三角形,则三角形的三个顶点坐标。  ),  ),  ).

2)求三角形ABC的面积.

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【题目】已知,如图,直线MN交⊙OAB两点,AC是直径,AD平分∠CAM交⊙OD,过DDEMNE

1)求证:DE是⊙O的切线;

2)若DE=2cmAE=1cm,求⊙O的半径.

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【题目】随着人们生活质量的提高,净水器已经慢慢走入了普通百姓家庭,某电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的AB两种型号的净水器,下表是近两周的销售情况:

1)求AB两种型号的净水器的销售单价;

2)若电器公司准备用不多于54000元的金额在采购这两种型号的净水器共30台,求A种型号的净水器最多能采购多少台?

3)在(2)的条件下,公司销售完这30台净水器能否实现利润为12800元的目标?若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由.

销售时段

销售数量

销售收入

A种型号

B种型号

第一周

3

5

18000

第二周

4

10

31000

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