【题目】△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,将△ABC绕点C顺时针旋转a度(0°<a<180°)得到△DCE,点A与点D对应,点B与点E对应,当点D落在△ABC的边上时,则BD的长_______
【答案】或1
【解析】
根据题意画出图形,分点D在AB边上和BC边上两种情况讨论,当点D落在AB边上时,过点C作CH⊥AB于H,证△ACH∽△ABC,求出AD的长,可进一步求出BD的长;当点D落在BC边上时,由旋转知,AC=CD=3,所以BD=BC﹣CD=1.
解:在Rt△ABC中,AB===5,
如图1,当点D落在AB边上时,
过点C作CH⊥AB于H,
由旋转知,AC=CD=3,
∴AH=DH,
∵∠A=∠A,∠AHC=∠ACB=90°,
∴△ACH∽△ABC,
∴,
∴=,
∴AH=,
∴AD=2AH=,
∴DB=AB﹣AD=5﹣=;
如图2,当点D落在BC边上时,
由旋转知,AC=CD=3,
∴BD=BC﹣CD=4﹣3=1;
故答案为:或1.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的切线交AB的延长线于点D,∠ACD=120°.
(1)求证:AC=CD;
(2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图,已知:二次函数y=x2+bx的图象交x轴正半轴于点A,顶点为P,一次函数y=x﹣3的图象交x轴于点B,交y轴于点C,∠OCA的正切值为.
(1)求二次函数的解析式与顶点P坐标;
(2)将二次函数图象向下平移m个单位,设平移后抛物线顶点为P′,若S△ABP=S△BCP,求m的值.
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【题目】如图,抛物线交X轴于A、B两点,交Y轴于点C ,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)平面内是否存在一点P,使以A,B,C,P为顶点的四边形为平行四边形,若存在直接写出P的坐标,若不存在请说明理由。
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【题目】已知,△ABC内接于圆O,弦CD⊥AB交AB于E,AF⊥BC于点F,AF交CD于点G.
(1)如图①,求证:DE=EG;
(2)如图②,连接OG,连接DA并延长至点P,连接CP,点P在CG的垂直平分线上,若AP=2AG,求证:OG∥AB;
(3)如图③,在(2)的条件下,过点D作DK⊥AF于点K,若∠PAC=∠DAF,KG=,求线段CG的长.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,⊙C的半径为r(r>1),点P是圆内与圆心C不重合的点,⊙C的“完美点”的定义如下:过圆心C的任意直线CP与⊙C交于点A,B,若满足|PA﹣PB|=2,则称点P为⊙C的“完美点”,如图点P为⊙C的一个“完美点”.
(1)当⊙O的半径为2时
①点M(,0) ⊙O的“完美点”,点(﹣,﹣) ⊙O的“完美点”;(填“是”或者“不是”)
②若⊙O的“完美点”P在直线y=x上,求PO的长及点P的坐标;
(2)设圆心C的坐标为(s,t),且在直线y=﹣2x+1上,⊙C半径为r,若y轴上存在⊙C的“完美点”,求t的取值范围.
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【题目】如图,D是△ABC的BC边上一点,连接AD,作△ABD的外接圆,将△ADC沿直线AD折叠,点C的对应点E落在上.
(1)求证:AE=AB;
(2)若∠CAB=90°,cos∠ADB=,BE=2,求BC的长.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,AC、DC为弦,∠ACD=60°,P为AB延长线上的点,∠APD=30°.
(1)求证:DP是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3cm,求图中阴影部分的面积.
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