Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB于D，且∠COD=60°，E为弧BC上一动点（不与点B、C重合），过E分别作于EF⊥AB于F，EG⊥OC于G．
现给出以下四个命题：
①∠GEF=60°；②CD=GF；③△GEF一定为等腰三角形；④E在弧BC上运动时，存在某个时刻使得△GEF为等边三角形．
其中正确的命题是

 

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：推理填空题

分析：①根据四边形的内角和定理即可证到∠GEF=60°；②连接OE，取OE的中点O′，连接O′F，GO′，易证点E、G、O、F四点共圆，延长GO′交⊙O′于R，连接RF．利用三角函数可证到CD=GF；③运用反证法就可得到△GEF不一定为等腰三角形；④由于∠GEF=60°，要使得△GEF为等边三角形，只需要EG=EF即可，在⊙O′中只需∠COE=∠BOE即可，在⊙O中，只需点E在

BC

的中点即可．

解答：解：①∵EF⊥AB，EG⊥OC，
∴∠EGO=∠EFO=90°．
∴∠GEF+∠GOF=180°．
∵∠GOF=180°-∠COD=180°-60°=120°，
∴∠GEF=180°-120°=60°．
故①正确．
②连接OE，取OE的中点O′，连接O′F，GO′，如图所示．
∵∠EGO=∠EFO=90°，点O′是OE的中点，
∴O′G=O′F=

1

2

OE．
∴点E、G、O、F在以点O′为圆心，O′O为半径的圆上．
延长GO′交⊙O′于R，连接RF．
则有∠GRF=∠GEF=60°．
∵GR是⊙O′的直径，∴∠GFR=90°．
∴GF=GR•sin∠GRF=OE•sin60°=

3

2

OE=

3

2

OC=CD．
故②正确．
③假设△EGF一定是等腰三角形，
∵∠GEF=60°，∴△EGF一定是等边三角形．
∴EG与EF一定相等．
但E为弧BC上一动点（不与点B、C重合），显然EG与EF不一定相等．
∴假设不成立．
故③错误．
④当点E运动到

BC

的中点时，
则有∠COE=∠BOE．
∴EG=EF．
∵∠GEF=60°，
∴△EGF是等边三角形．
故④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了四边形的内角和定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、锐角三角函数、等边三角形的判定等知识，而构造辅助圆是证明②是真命题的关键，运用反证法是说明③是假命题的关键．