Question

如图，已知二次函数y=ax²+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．

（1）请直接写出二次函数y=ax²+x+c的表达式；

（2）判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；

（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．

　

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）根据待定系数法即可求得；

（2）根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB²=20，AC²=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形．

（3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；

（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得MD=（n+2），然后根据S_△AMN=S_△ABN﹣S_△BMN

得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可．

【解答】解：（1）∵二次函数y=ax²+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），

∴，

解得．

∴抛物线表达式：y=﹣x²+x+4；

（2）△ABC是直角三角形．

令y=0，则﹣x²+x+4=0，

解得x₁=8，x₂=﹣2，

∴点B的坐标为（﹣2，0），

由已知可得，

在Rt△ABO中AB²=BO²+AO²=2²+4²=20，

在Rt△AOC中AC²=AO²+CO²=4²+8²=80，

又∵BC=OB+OC=2+8=10，

∴在△ABC中AB²+AC²=20+80=10²=BC²

∴△ABC是直角三角形．

（3）∵A（0，4），C（8，0），

∴AC==4，

①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），

②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）

③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），

综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．

（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，

∴MD∥OA，

∴△BMD∽△BAO，

∴=，

∵MN∥AC

∴=，

∴=，

∵OA=4，BC=10，BN=n+2

∴MD=（n+2），

∵S_△AMN=S_△ABN﹣S_△BMN

=BN•OA﹣BN•MD

=（n+2）×4﹣×（n+2）²

=﹣（n﹣3）²+5，

∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．

【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，勾股定理和逆定理，等腰三角形