Question

5．如图，等腰直角△ABC腰长为10，现分别按图1、图2方式在△ABC内裁剪一个内接正方形ADFE和正方形PMNQ．设正方形ADFE的面积为S₁，正方形PMNQ的面积为S₂，
（1）在图1 中，求AD：AB的值；在图2中，求AP：AB的值；
（2）比较S₁和S₂的大小，判断哪种裁剪方式所得正方形面积大．

Answer 1

分析 （1）图1：根据等腰三角形的性质求解；图2：同图1的求法；
（2）由（1）得出的AB、AD、AP、AB的关系，由正方形的面积公式求出S₁、S₂和S，即可得出结果．

解答 解：（1）图1中，∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADFE是正方形，
∴AD=DF，∠B=45°，
∴DF=DB，
∴AD=DB，
∴AD：AB=1：2，
图2中，同理：PM=MN，∠B=45°，
∴PM=MB，
∴MN=MB，
∴MN=MB=NC，
∴AP：AB=PQ：BC=MN：BC=1：3；
（2）S₁＞S₂；图1的裁剪方式所得正方形面积大；理由如下：
图1中，S₁=（$\frac{1}{2}$×10）²=25，
∵PQ：BC=AP：AB=1：3，∴AP=AQ=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{10}{3}$，
∴PQ=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$，
∴S₂=（$\frac{10\sqrt{2}}{3}$）²=$\frac{200}{9}$＜25，
∴S₁＞S₂；
∴图1的裁剪方式所得正方形面积大．

点评 此题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、正方形面积的计算；熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键．