Question

反比例函数y=

k

x

与直线y=

3

3

x交于A、B两点，（A在第一象限，B在第三象限）且AB=2

6

，
（1）求反比例函数的解析式．
（2）若抛物线y=x²上存在点C，平面内存在点D，使得四边形ACBD是矩形（AB为对角线），求D点的坐标．
（3）若抛物线y=x²+bx+c上存在两点E、F，使得四边形AEBF为菱形（EF为对角线），
①当c=-1时，求b的值．
②要使（3）中满足条件的点E、F存在，求c的范围．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）设A（x，

3

3

x），则B（-x，-

3

3

x），再根据AB=2

6

即可得出x的值，进而得出AAB两点坐标，根据点A在反比例函数y=

k

x

上求出k的值即可得出其函数解析式；
（2）设D（x，y），再求出OA的长，根据OA=OD即可得出C点坐标，再根据C、D两点关于原点对称即可得出D点坐标；
（3）①根据四边形AEBF为菱形（EF为对角线），直线AB的解析式为y=

3

3

x可得出直线EF的解析式，设E（x，-

3

x），则F（-x，

3

x），再根据点E、F是直线与二次函数的交点即可得出b的值；
②直接根据菱形的性质即可得出结论．

解答：解：（1）∵A、B两点在直线y=

3

3

x上，
∴A（x，

3

3

x），则B（-x，-

3

3

x），
∵AB=2

6

，
∴

(x+x)2+( 3 3 x+ 3 3 x)2

=2

6

，
解得x=±

3 2

2

，
∴A（

3 2

2

，

6

2

），B（-

3 2

2

，-

6

2

）．
∵点A在反比例函数y=

k

x

上，
∴k=

3 2

2

×

6

2

=

3 3

2x

，
∴反比例函数的解析式为：y=

3 3

2x

；

（2）设D（x，y），
∵四边形ACBD是矩形（AB为对角线），A（

3 2

2

，

6

2

），
∴OA=

( 3 2 2 )2+( 6 2 )2

=

6

，
∴OA=OA=

6

，即

x2+y2

=

6

，
∵点D在二次函数y=x²上，
∴

y+y2

=

6

，解得y=2，
∴C₁（

2

，2），C₂（-

2

，2），
∵C、D两点关于原点对称，
∴D₁（

2

，-2），D₂（-

2

，-2），

（3）①∵四边形AEBF为菱形（EF为对角线），直线AB的解析式为y=

3

3

x，
∴EF⊥AB，直线EF的解析式为y=-

3

x．
∵c=1，
∴二次函数的解析式为y=x²+bx-1，
设E（x，-

3

x），则F（-x，

3

x），
∵点E、F是直线与二次函数的交点，
∴

x2+bx-1=- 3 x x2-bx-1= 3 x

，解得b=-

3

；
②∵四边形AEBF为菱形（EF为对角线），
∴抛物线y=x²+bx+c一定与x轴有两个交点，
∴c＜0．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到矩形与菱形的性质、二次函数的性质等知识，难度较大．