Question

如图，AB是半⊙O的直径，CD切半⊙O于点C，P是△OAC的重心，且OP=

2

3

，CD=

3

，BD=1．则图中阴影部分的面积为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：延长OP交AC于点E，则可求得OE=1，连接BC，可求得BC=2，在△BCD中可求得其为直角三角形，且∠DCB=∠A=30°可求得AO及∠AOC的大小，利用面积公式可求得答案．

解答：解：
如图，延长OP交AC于点E，
∵P是△OAC的重心，且OP=

2

3

，
∴OE=1，且E为AC中点，
连接BC，则OE为△ABC的中位线，
∴BC=2OE=2，
在△BCD中，BC=2，BD=1，CD=

3

，满足BC²=BD²+CD²，
∴△BCD为直角三角形，且∠BCD=30°，
∵DC为⊙O的切线，
∴∠CAO=30°，
∴∠AOE=60°，AO=2OE=2，AE=

3

，
∴∠AOC=120°，AC=2AE=2

3

，
∴S_扇形AOC=

1

3

πOA²=

4

3

π，S_△AOC=

1

2

AC•OE=

1

2

×2

3

×1=

3

，
∴S_阴影=S_扇形AOC-S_△AOC=

4

3

π-

3

，
故答案为：

4

3

π-

3

．

点评：本题主要考查切线的性质及扇形的面积的计算，由条件求得△BCD为直角三角形，求得∠CAO=30°是解题的关键．