Question

9．如图①，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限，线段AC与x轴交于点D．将线段DC绕点D逆时针旋转90°至DE．

（1）直接写出点B、D、E的坐标并求出直线DE的解析式．
（2）如图②，点P以每秒1个单位的速度沿线段AC从点A运动到点C的过程中，过点P作与x轴平行的直线PG，交直线DE于点G，求与△DPG的面积S与运动时间t的函数关系式，并求出自变量t的取值范围．
（3）如图③，设点F为直线DE上的点，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FE以每秒$\sqrt{2}$个单位的速度运动到E后停止．当点F的坐标是多少时，是否存在点M在整个运动过程中用时最少？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据坐标的定义结合题意可得B、D、E的坐标，利用待定系数法即可求出直线DE的解析式．
（2）分两种情形①当$0≤t≤\sqrt{2}$时，PD=$\sqrt{2}$-t，可得S=$\frac{1}{2}$PD²=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$-t）²=$\frac{1}{2}$t²-$\sqrt{2}$t+1．②当$\sqrt{2}＜t≤4\sqrt{2}$时，同法可求．
（3）过点E作EK∥x轴交y轴于H，则∠KEF=∠EDO=45°．过点F作FG⊥EK于点G，则FG=EG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF，由题意，动点M运动的路径为折线AF+EF，运动时间：t=AF+$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF，推出t=AF+FG，即运动时间等于折线AF+FG的长度，由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为EK与线段AB之间的垂线段．则t_最小=AH，直线DE与y轴的交点即为所求之F点．

解答 解：（1）如图①中，由题意得：B（4，-1），D（1，0）．E（-2，3）．

设直线DE为y=kx+b（k≠0）
把D（1，0）．E（-2，3）代入得$\left\{{\begin{array}{l}{0=k+b}\\{3=-2k+b}\end{array}}\right.$
解之得：$\left\{{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=1}\end{array}}\right.$
∴直线DE为：y=-x+1．

（2）在Rt△ABC中，由BA=BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
由AP=t  （0≤t≤4$\sqrt{2}$），
同理可得：AD=$\sqrt{A{O}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
由题意可知：ED⊥AC，∠DPG=∠DAB=45°
∴△DPG为等腰直角三角形
S=$\frac{1}{2}$DP²，
如图②中，

①当$0≤t≤\sqrt{2}$时，PD=$\sqrt{2}$-t，
∴S=$\frac{1}{2}$PD²=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$-t）²=$\frac{1}{2}$t²-$\sqrt{2}$t+1．

②当$\sqrt{2}＜t≤4\sqrt{2}$时，易得DP=t-$\sqrt{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$PD²=$\frac{1}{2}$（t-$\sqrt{2}$）²=$\frac{1}{2}$t²-$\sqrt{2}$t+1．
综上：S=$\frac{1}{2}$t²-$\sqrt{2}$t+1．（0≤t$≤4\sqrt{2}$）

（3）如图③，易得∠EDO=45°．

过点E作EK∥x轴交y轴于H，则∠KEF=∠EDO=45°．
过点F作FG⊥EK于点G，则FG=EG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF，
由题意，动点M运动的路径为折线AF+EF，运动时间：t=AF+$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF，
∴t=AF+FG，即运动时间等于折线AF+FG的长度，
由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为EK与线段AB之间的垂线段．
则t_最小=AH，直线DE与y轴的交点即为所求之F点，
∵直线DE解析式为：y=-x+1
∴F（0，1），
综上所述，当点F（0，1）坐标为时，点M在整个运动过程中用时最少．

点评 本题考查一次函数综合题、等腰直角三角形的性质、待定系数法、三角形的面积、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．