Question

【题目】若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点P在直线l上，则称该抛物线L与直线l具有“一带一路关系”，此时，抛物线L叫做直线l的“带线”，直线l叫做抛物线L的“路线”．

⑴求“带线”L：y=x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）的“路线”l的解析式；

⑵若某“带线”L：y=x2+bx+c的顶点在二次函数y=x2+4x+1的图象上，它的“路线”l的解析式为y=2x+4．

①求此“带线”L的解析式；

②设“带线”L与“路线”l的另一②个交点为Q，点R在PQ之间的“带线”L上，当点R到“路线”l的距离最大时，求点R的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x﹣1；（2）y=x2﹣x+或y=x2+3x+；点R的坐标为（3，8）或（﹣1，0）．

【解析】

（1）先配方得到抛物线y=x2-2mx+m2+m-1的顶点坐标，则根据新定义得到“带线”L的顶点为（m，m-1），然后利用横纵坐标之间的关系可确定“路线”l的解析式；（2）①根据新定义“带线”L：y=x2+bx+c的顶点在“路线”l，则可设“带线”L：y=x2+bx+c的顶点为（x，2x+4），再把（x，2x+4）代入y=x2+4x+1得2x+4=x2+4x+1，解方程求出x就看得到“带线”L：y=x2+bx+c的顶点坐标，然后利用顶点式可得“带线”L的解析式；②讨论：当“带线”L解析式为y=x2-x+ 时，通过解方程组得Q的坐标为（5，14），由于要使点R到线段PQ的距离最大，只要S△RPQ最大，作PH∥y轴交PQ于H，设R（x，x2-x+），则H（x，2x+4），利用三角形面积公式，S△RPQ=（2x+4-x2+x-）（5-1），然后根据二次函数的性质求解；若“带线”L解析式为y=x2+3x+ 时，利用同样的方法可确定点R的坐标．

（1）∵y=x2﹣2mx+m2+m﹣1=（x﹣m）2+m﹣1，

∴“带线”L的顶点为（m，m﹣1），

∴“路线”l的解析式为y=x﹣1；

（2）①设“带线”L：y=x2+bx+c的顶点为（x，2x+4）．

把（x，2x+4）代入y=x2+4x+1得2x+4=x2+4x+1，解得x1=1，x2=﹣3．

∴“带线”L：y=x2+bx+c的顶点为（1，6）或（﹣3，﹣2）．

∴“带线”L的解析式为y=（x﹣1）2+6或y=（x+3）2﹣2，

即y=x2﹣x+或y=x2+3x+；

②若“带线”L解析式为y=x2﹣x+时，解方程组 得 或 ，则带线”L与“路线”l的另一个交点Q的坐标为（5，14），

要使点R到线段PQ的距离最大，只要S△RPQ最大，

作PH∥y轴交PQ于H，设R（x，x2﹣x+），则H（x，2x+4）

∴S△RPQ=（2x+4﹣x2+x﹣）（5﹣1）=﹣x2+6x+3=﹣（x﹣3）2+13．

∴当x=3时，S△RPQ有最大值，此时点R的坐标为（3，8）；

若“带线”L解析式为y=x2+3x+时，同理可得点R的坐标为（﹣1，0）．

∴点R的坐标为（3，8）或（﹣1，0）．