Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6，AB=8．动点D从点B出发沿线段BA方向以每秒2个单位长度的速度运动，到A点停止．过点D作DE∥BC交AC于点E．设动点D运动的时间为x秒．AE的长度为y．
（1）请用含x的代数式直接表示线段BD和AD的长．
（2）求y与x之间的函数关系式．（不要求写自变量x的取值范围）．
（3）若△BDE的面积为6，求x的值．
（4）当△BDE为等腰三角形时，求x的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据题意可求得含x的代数式的线段BD和AD的长；
（2）根据已知条件DE∥BC可以判定△ADE∽△ABC；然后利用相似三角形的对应边成比例求得

AD

AB

=

AE

AC

；最后用x、y表示该比例式中的线段的长度；
（3）根据∠A=90°得出S_△BDE=

1

2

•BD•AE=6，再解一元二次方程即可得到x值；
（4）根据∠BDE=＞90°判断出只有BD为腰长这一情况，利用相似三角形的性质可求得x．

解答：解：（1）根据题意可得：
BD=2x，
AD=AB-BD=8-2x，

（2）∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴

AD

AB

=

AE

AC

∴

8-2x

8

=

y

6

8
∴y=-

3

2

x+6，
其中0＜x≤4；

（3）根据题意可知，
∵∠A=90°
∴S_△BDE=

1

2

•BD•AE=

1

2

•2x•y=-

3

2

x²+6x，
当S_△BDE=6时，
即6=-

3

2

x²+6x，
解得：x=2．

（4）∵∠BDE=∠A+∠AED＞90°，
∴当△BDE为等腰三角形时，∠BDE为腰长的夹角，
∴BD为腰长．
∴BD=DE，
∵△ADE∽△ABC
∴

AD

DE

=

AB

BC

即：

8-2x

2x

=

8

10

解得：x=

20

9

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质、三角形的面积及解一元二次方程，找到等量比是解题的关键．