Question

已知在△ABC中，AB=AC=8，BC=4，点P是边AC上的一个动点，∠APD=∠ABC，AD∥BC，联结DC．
（1）如图1，如果DC∥AB，求AP的长；
（2）如图2，如果直线DC与边BA的延长线交于点E，设AP=x，AE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如图3，如果直线DC与边BA的反向延长线交于点F，联结BP，当△CPD与△CBF相似时，试判断线段BP与线段CF的数量关系，并说明你的理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）先证明△DPA∽△ABC，得出比例式

AP

BC

=

AD

AC

，即可求出AP=2；
（2）由（1）得出

AP

BC

=

AD

AC

，AD=2AP，再由AD∥BC，得出

AD

BC

=

AE

ED

，即可得出y=

8x

2-x

；
（3）由△CPD∽△CBF，得出

PD

BF

=

CP

BC

，得出

2x

y

=

8-x

4

①，再由AD∥BC，得

BC

AD

=

BF

AF

，得出

4

2x

=

y

y+8

②，由①②解得x、y的值，得出BP是△ACF的中位线，即可得出结论：BP=

1

2

CF．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAP=∠ACB，
∵∠APD=∠ABC，
∴△DPA∽△ABC，
∴

AP

BC

=

AD

AC

，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4，
∵AB=AC=8，
∴

AP

4

=

4

8

，
∴AP=2；
（2）由（1）得，

AP

BC

=

AD

AC

，
∴AD=2AP，
∵AD∥BC，
∴

AD

BC

=

AE

ED

，
∵AP=x，AE=y，
∴AD=2x，EB=y+8，
∴

2x

4

=

y

y+8

，
∴y=

8x

2-x

，它的定义域是0＜x＜2；
（3）BP=

1

2

CF；
∵∠APD=∠ABC，
∴∠DPC=∠FBC，
∵∠PCD＞∠F，又△CPD与△CBF相似，
∴∠PCD=∠BCE，
∴△CPD∽△CBF，
∴

PD

BF

=

CP

BC

，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠APD=∠ABC，∠DAP=∠ACB，
∴∠DAP=∠APD，
∴AD=PD，
设AP=x，BF=y，则AD=PD=2x，AF=y+8，
∴

2x

y

=

8-x

4

①，
∵AD∥BC，
∴

BC

AD

=

BF

AF

，
∴

4

2x

=

y

y+8

②，
由①②得：x=4，y=8，
∴AP=PC=4，AB=BF=8，
∴BP是△ACF的中位线，
∴BP=

1

2

CF．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线四边形的性质、三角形的中位线以及函数解析式的求法；证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．