Question

8．正方形ABCD，点E为AD延长线上一点，连接CE，设直线CE与直线BD交于点F，若AF=2CE，则tan∠DCE的值为$\frac{1}{2}或\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 分两种情况：DE＜BC、DE＞BC，先根据正方形的性质证明△FDE∽△FBC可得AF=CF，由AF=2CE可得$\frac{CE}{CF}$即$\frac{FE}{FC}$，由△FDE∽△FBC可得$\frac{DE}{BC}=\frac{FE}{FC}$，继而可得tan∠DCE的值．

解答 解：①如图1，当DE＜BC时，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠CDB=45°，AD=CD=BC，AD∥BC，
∴∠ADF=∠CDF=135°，
在△ADF和△CDF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADF=∠CDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴AF=CF，又∵AF=2CE，
∴CE=$\frac{1}{2}$CF，
∴EF=$\frac{1}{2}$CF，
∵AD∥BC，
∴△FDE∽△FBC，
∴$\frac{FE}{FC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∵BC=CD，
∴$\frac{DE}{CD}=\frac{1}{2}$，
∴在RT△DCE中，tan∠DCE=$\frac{DE}{CD}=\frac{1}{2}$；
②如图2，当DE＞BC时，

与（1）同理可得AF=CF=2CE，
∴EF=3CE，
∴EF=$\frac{3}{2}$CF，
∴$\frac{BC}{DE}=\frac{CD}{DE}=\frac{CF}{EF}=\frac{2}{3}$，
在RT△CDE中，tan∠DCE=$\frac{DE}{CD}=\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查相似形的判定与性质及正方形的性质，根据DE的长短分类讨论是前提也是容易忽略的，利用三角形相似证明线段的长度比是切入点也是关键．