Question

1．如图，CD是⊙O的直径，且CD=4cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，切点分别为A、B．
（1）连接AC，若∠APO=30°，求证：△ACP是等腰三角形；
（2）顺次连结A、O、B、D，若四边形AOBD是菱形，求DP的长；
（3）填空：当DP=2$\sqrt{2}$-2cm时，四边形AOBP是正方形．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接AO，根据切线的性质得到∠PAO=90°，根据三角形内角和得到∠AOP=60°，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠CAO=30°，即可得到结论；
（2）由四边形AOBD是菱形，得到AO=AD，由于AO=OD，推出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOD=60°，根据直角三角形的性质得到PO=2AO=2DO，即可得到结论；
（3）当DP=（2$\sqrt{2}$-2）cm时，四边形AOBP是正方形．由四边形AOBP是正方形，于是得到AO=AP，∠OAP=∠APB=∠AOB=90°，根据切线长定理得到∠APO=∠BPO=$\frac{1}{2}∠$APB=45°，得到∠AOP=45°，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，连接AO，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∵∠APO=30°，
∴∠AOP=60°，
∵OA=OC，
∴∠C=∠CAO=30°，
∴∠C=∠APO，
∴△ACP是等腰三角形；

（2）∵四边形AOBD是菱形，
∴AO=AD，
∵AO=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴PO=2AO=2DO，
∴PD=OD=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}×$4=2cm；

（3）当DP=（2$\sqrt{2}$-2）cm时，四边形AOBP是正方形．
∵四边形AOBP是正方形，
∴AO=AP，∠OAP=∠APB=∠AOB=90°，
∵点P作⊙O的切线PA、PB，切点分别为A、B．
∴∠APO=∠BPO=$\frac{1}{2}∠$APB=45°，
∴∠AOP=45°，
∵OA=OP=$\frac{1}{2}$CD=2，
∴PO=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$，
∴PD=PO-OD=（2$\sqrt{2}$-2）cm．
故答案为：2$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查了切线的性质，菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．