Question

如图，BD为Rt△ABC的角平分线，以BC边上一点O为圆心，过点B、D两点作⊙O，⊙O分别交BC、AB于E、F两点．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）延长BA到点G，使AB=AG，直线GD交直径BE于点H，若tan∠C=

3

4

，求

EH

BH

的值．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）如图，作辅助线，证明OD⊥AC即可解决问题；
（2）如图，作辅助线，运用勾股定理表示出BC的长度，借助相似三角形表示出BH的长度，进而表示出HE的长度，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，连接OD；
∵∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠ADB=90°；
又∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ADB+∠ODB=90°，
即OD⊥AC，
∴AC为⊙O的切线．
（2）如图，过点H作HK⊥AC于点K；
∵tan∠C=

3

4

，
∴

AB

AC

=

3

4

；
设AB=3m，AC=4n；由勾股定理得：
BC²=9m²+16m²=25m²，
∴BC=5m；
∵OD⊥AC，BA⊥AC，
∴AB∥OD，
∴△ABC∽△DOC，
∴

AB

OD

=

BC

OC

，即

3m

r

=

5m

5m-r

，
解得：r=

15

8

m；
∵BD平分∠ABC，
∴

AD

DC

=

AB

BC

=

3

5

，
∴设AD=3k，DC=5k；
又∵HK∥BG，
∴△ADG∽△KDH，△ABC∽△KHC；
∴

AD

DK

=

AG

HK

，

AB

HK

=

BC

HC

=

AC

KC

，
又∵AB=AG，
∴

AD

DK

=

AC

KC

，
设KC=μ，则DK=5k-μ，
∴

3k

5k-μ

=

8k

μ

，
解得：μ=

40

11

k，
∴

BC

HC

=

8k

40k 11

=

11

5

，
∴HC=

5

16

×5m=

25

16

m，
∴BH=

55

16

m，HE=

15

4

m-

55

16

m=

5

16

m，

EH

BH

=

5

16

m×

16

55m

=

1

11

，
即

EH

BH

的值为

1

11

．

点评：该题以圆为载体，以考查切线的判定及其应用、勾股定理、角平分线的性质、相似三角形的判定及其应用等几何知识点为核心构造而成；对综合的分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求．