Question

如图，锐角△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，M、N分别是BD、BC线段上运动的点，S_△ABC=8，AB=4，求：MN+MC的最小值是多少？

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：因为BD是∠ABC的角平分线，设N关于BD的对称点为R，由于为锐角三角形，则R必在AB上，作AB边上的高CE，E在线段AB上，连接CR交AD于M，则MN=MR，CM+MN=CM+MR=CR，在直角三角形CER中，CR是斜边，CE是直角边，所以CR最小值是和CE重合即为三角形ABC的AB边上的高线，利用面积公式求出高线CE即可．

解答：解：设N关于AB的对称点为R，由于为锐角三角形，则R必在AB上，作AB边上的高CE，E在线段AB上，连接CR交AD于M，
∴MN=MR，
∴CM+MN=CM+MR=CR≥CE，
∵面积为8，AB=4，
∴8=

1

2

AB•BE，
∴BE=4，
∴MN+MC的最小值为4．

点评：本题考查了轴对称-最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明BM+MN的最小值为三角形某一边上的高线．