Question

9．已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M、N分别为线段BO和CO中点．求证：四边形EDNM是矩形．

Answer 1

分析 由题意得出ED是△ABC的中位线，得出ED∥BC，ED=$\frac{1}{2}$BC，由题意得出MN是△OBC的中位线，得出MN∥BC，MN=$\frac{1}{2}$BC，因此ED∥MN，ED=MN，证明四边形EDNM是平行四边形，再由SAS证明△ABD≌△ACE，得出BD=CE，证出DM=EN，即可得出四边形EDNM是矩形．

解答 证明：∵E、D分别是AB、AC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，AD=$\frac{1}{2}$AC，ED是△ABC的中位线，
∴ED∥BC，ED=$\frac{1}{2}$BC，
∵点M、N分别为线段BO和CO中点，
∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，
∴MN∥BC，MN=$\frac{1}{2}$BC，
∴ED∥MN，ED=MN，
∴四边形EDNM是平行四边形，
∴OE=ON，OD=OM，
∵AB=AC，
∴AE=AD，
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠A=∠A}&{\;}\\{AD=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，
∴DM=EN，
∴四边形EDNM是矩形．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形中位线定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．