【题目】如图,在平行四边形ABCD中,P是对角线BD上的一点,过点C作CQ∥DB,且CQ=DP,连接AP、BQ、PQ.
(1)求证:△APD≌△BQC;
(2)若∠ABP+∠BQC=180°,求证:四边形ABQP为菱形.
【答案】证明见解析
【解析】
(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可;
(2)四边形AECF是菱形,根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断;
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∵CQ∥DB,
∴∠BCQ=∠DBC,
∵DP=CQ,
∴△ADP≌△BCQ.
(2)证明:∵CQ∥DB,且CQ=DP,
∴四边形CQPD是平行四边形,
∴CD=PQ,CD∥PQ,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴AB=PQ,AB∥PQ,
∴四边形ABQP是平行四边形,
∵△ADP≌△BCQ,
∴∠APD=∠BQC,
∵∠∠APD+∠APB=180°,
∴∠ABP=∠APB,
∴AB=AP,
∴四边形ABQP是菱形.
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【题目】从甲、乙两名同学中选拔一人参加“中华好诗词”大赛,在相同的测试条件下,对两人进行了五次模拟,并对成绩(单位:分)进行了整理,计算出=83分,=82分,绘制成如下尚不完整的统计图表.
甲、乙两人模拟成绩统计表
① | ② | ③ | ④ | ⑤ | |
甲成绩/分 | 79 | 86 | 82 | a | 83 |
乙成绩/分 | 88 | 79 | 90 | 81 | 72 |
根据以上信息,回答下列问题:
(1)a=
(2)请完成图中表示甲成绩变化情况的折线.
(3)经计算S甲2=6,S乙2=42,综合分析,你认为选拔谁参加比赛更合适,说明理由.
(4)如果分别从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一次成绩进行分析,求抽到的两个人的成绩都大于82分的概率.
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【题目】一个自然数的立方,可以分裂成若干个连续奇数的和。例如:和分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和,即=3+5;=7+9+11; =13+15+17+19;…;若也按照此规律来进行“分裂”,则“分裂”出的奇数中,最大的奇数是______.
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【题目】如图,抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A,C,E三点,其中A(﹣3,0),C(0,4),点B在x轴上,AC=BC,过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D,点M,N分别是线段CO,BC上的动点,且CM=BN,连接MN,AM,AN.
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)当△CMN是直角三角形时,求点M的坐标;
(3)试求出AM+AN的最小值.
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【题目】如图,在△ABC中,∠B=∠C=∠DEF,点D、E、F分别在AB、AC上,且BD=CE.求证:DE=EF.
证明:(请将下面的证明过程补充完整)
∵∠B+∠BDE+∠BED=180°(______)
∠DEF+∠FEC+∠BED=180°(______)
∠B=∠DEF(已知)
∴∠BDE=∠FEC(______)
在△BDE和△CEF中
∠B=∠C(已知)
BD=CE(______)
∠BDE=∠FEC(______)
∴△BDE≌△CEF(______)(用字母表示)
∴DE=EF(______)
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【题目】如图,在ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF.
(1)求证:ABCD是菱形;
(2)若AB=5,AC=6,求ABCD的面积.
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【题目】如图,已知一次函数y=kx+4图象交直线OA于点A(1,2),交y轴于点B,点C为坐标平面内一点.
(1)求k值;
(2)若以O、A、B、C为顶点的四边形为菱形,则C点坐标为 ;
(3)在直线AB上找点D,使△OAD的面积与((2)中菱形面积相等,则D点坐标为 .
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【题目】文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力.2019年5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办,引起了世界人民的极大关注.某市一研究机构为了了解10~60岁年龄段市民对本次大会的关注程度,随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查,并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图,如下所示:
组别 | 年龄段 | 频数(人数) |
第1组 | 5 | |
第2组 | ||
第3组 | 35 | |
第4组 | 20 | |
第5组 | 15 |
(1)请直接写出 , ,第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 度.
(2)请补全上面的频数分布直方图;
(3)假设该市现有10~60岁的市民300万人,问40~50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少?
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上,已知OA=6,OB=10.点D为y轴上一点,其坐标为(0,2),点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动,当点P与点B重合时停止运动,运动时间为t秒.
(1)当点P经过点C时,求直线DP的函数解析式;
(2)①求△OPD的面积S关于t的函数解析式;
②如图②,把长方形沿着OP折叠,点B的对应点B′恰好落在AC边上,求点P的坐标.
(3)点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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