Question

如图已知：直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）

                ∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组

……3分

解得：

∴抛物线的解析式为                   ………………5分

（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示，

若△ABO∽△AP1D，则

∴DP1=AD=4  ,

∴P1……………………………………………… …………7分

若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4,

∵△ABO为等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点M与点C重合∴P2（1，2）……………………10分

②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE =     

              ∴    ∴

∵点E在x轴下方  ∴  代入得：

即 ，∵△=(-4)2-4×5=-4<0

∴此方程无解

综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E.