Question

【题目】阅读下列材料：

1×2＝（1×2×3﹣0×1×2）

2×3＝（2×3×4﹣1×2×3）

3×4＝（3×4×5﹣2×3×4）

由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×4＝×3×4×5＝20，读完以上材料，请你计算下列各题：

（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）

（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）＝　　；

（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+9×10×11＝　　．

Answer 1

【答案】（1）440，过程见解析；（2）n（n+1）（n+2）；（3）2970

【解析】

根据给定等式的变化找出变化规律“n（n+1）= [n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]”．

（1）根据变化规律将算式展开后即可得出原式=×10×11×12，此题得解；

（2）根据变化规律将算式展开后即可得出原式=n（n+1）（n+2），此题得解；

（3）通过类比找出变化规律“n（n+1）（n+2）=[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]”，依此规律将算式展开后即可得出结论．

观察，发现规律：1×2＝（1×2×3﹣0×1×2），2×3＝（2×3×4﹣1×2×3），3×4＝（3×4×5﹣2×3×4），…，

∴n（n+1）＝[n（n+1）（n+2）﹣（n﹣1）n（n+1）]．

（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11

＝（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+（10×11×12﹣9×10×11），

＝×10×11×12，

＝440．

（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）

＝（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+[n（n+1）（n+2）﹣（n﹣1）n（n+1）]，

＝n（n+1）（n+2）．

故答案为：n（n+1）（n+2）．

（3）观察，发现规律：1×2×3＝（1×2×3×4﹣0×1×2×3），2×3×4＝（2×3×4×5﹣1×2×3×4），3×4×5＝（3×4×5×6﹣2×3×4×5），…，

∴n（n+1）（n+2）＝[n（n+1）（n+2）（n+3）﹣（n﹣1）n（n+1）（n+2）]，

∴原式＝（1×2×3×4﹣0×1×2×3）+（2×3×4×5﹣1×2×3×4）+（3×4×5×6﹣2×3×4×5）+…+（9×10×11×12﹣8×9×10×11），

＝×9×10×11×12，

＝2970．

故答案为：2970．