【题目】如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,∠OAB=30°.
(1)求∠APB的度数;
(2)当OA=3时,求AP的长.
【答案】(1)60°;(2).
【解析】
试题(1)、方法1,根据四边形的内角和为360°,根据切线的性质可知:∠OAP=∠OBP=90°,求出∠AOB的度数,可将∠APB的度数求出;方法2,证明△ABP为等边三角形,从而可将∠APB的度数求出;
(2)、方法1,作辅助线,连接OP,在Rt△OAP中,利用三角函数,可将AP的长求出;方法2,作辅助线,过点O作OD⊥AB于点D,在Rt△OAD中,将AD的长求出,从而将AB的长求出,也即AP的长.
试题解析:(1)、方法一: ∵在△ABO中,OA=OB,∠OAB=30°, ∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°,
∵PA、PB是⊙O的切线, ∴OA⊥PA,OB⊥PB,即∠OAP=∠OBP=90°, ∴在四边形OAPB中,
∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°.
方法二: ∵PA、PB是⊙O的切线∴PA=PB,OA⊥PA;
∵∠OAB=30°,OA⊥PA, ∴∠BAP=90°﹣30°=60°, ∴△ABP是等边三角形, ∴∠APB=60°.
(2)、方法一:如图①,连接OP; ∵PA、PB是⊙O的切线,∴PO平分∠APB,即∠APO=∠APB=30°,
又∵在Rt△OAP中,OA=3,∠APO=30°, ∴AP==3.
方法二:如图②,作OD⊥AB交AB于点D; ∵在△OAB中,OA=OB, ∴AD=AB;
∵在Rt△AOD中,OA=3,∠OAD=30° ∴AD=OAcos30°=, ∴AP=AB=3.
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【题目】如图,已知△ABC∽△ADE,AB=30cm,BD=18cm,BC=20cm,∠BAC=75°,∠ABC=40°.
求:(1)∠ADE和∠AED的度数;
(2)DE的长.
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【题目】如图,点D是⊙O的直径CA延长线上一点,点B在⊙O上,且∠DBA=∠BCD.
(1)根据你的判断:BD是⊙O的切线吗?为什么?.
(2)若点E是劣弧BC上一点,AE与BC相交于点F,且△BEF的面积为10,cos∠BFA=,那么,你能求出△ACF的面积吗?若能,请你求出其面积;若不能,请说明理由.
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【题目】(本小题10分)已知A, B,C是⊙O上的三个点,四边形OABC是平行四边形,过点C作⊙O的切线,交AB的延长线于点D.
(Ⅰ)如图①,求∠ADC的大小;
(Ⅱ)如图②,经过点O作CD的平行线,与AB交于点E,与交于点F,连接AF,求∠FAB的大小.
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【题目】如图,Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB,BC分别相切于点D,E,过劣弧DE(不包括端点D,E)上任一点P作⊙O的切线MN,与AB,BC分别交于点M,N,若⊙O的半径为r,则Rt△MBN的周长为( )
A. r B. r C. 2r D. r
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【题目】如图,在等腰直角△ABC中,∠C=90°,点O是AB的中点,且AB=cm,将一块直角三角板的直角顶点放在点O处旋转,始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交,交点分别为D、E,则CD+CE=______cm.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=-2x-8分别与x轴,y轴相交于A,B两点,点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点,以点P为圆心,3为半径作⊙P,连结PA,若PA=PB,试判断⊙P与x轴的位置关系,并说明理由.
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【题目】如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,求树AB的高度.
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