Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是（　　）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据同角的余角相等求出∠ABG=∠BCD，然后利用“角边角”证明△ABG和△BCD

全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=BD，然后求出，再求出△AFG和

△CFB相似，根据相似三角形对应边成比例可得从而判断出①正确；求出

，然后根据FE≠BE判断出②错误；根据相似三角形对应边成比例求出

再根据等腰直角三角形的性质可得然后整理即可得到判断出

③正确；过点F作MF⊥AB于M，根据三角形的面积整理即可判断出④错误．

∵∠ABC=90°，BG⊥CD，

∴∠ABG+∠CBG=90°，∠BCD+∠CBG=90°，

∴∠ABG=∠BCD，

在△ABC和△BCD中，

∴△ABG≌和△BCD（ASA），

∴AG=BD，

∵点D是AB的中点，

∴

∴

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，

∴AB⊥BC，

∵AG⊥AB，

∴AG∥BC，

∴△AFG∽△CFB，

∴

∵BA=BC，

∴故①正确；

∵△AFG∽△CFB，

∴

∴

∵FE≠BE，

∴点F是GE的中点不成立，故②错误；

∵△AFG∽△CFB，

∴

∴

∵

∴故③正确；

过点F作MF⊥AB于M，则FM∥CB，

∴

∵

∴ 故④错误．

综上所述，正确的结论有①③共2个．

故选：C．