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【题目】如图,以的三边为边分别作等边,则下列结论:①①;②四边形为平行四边形;时,四边形是菱形;时,四边形是矩形.其中正确的结论有( )个.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

①由ABEBCF都为等边三角形,利用等边三角形的性质得到两对边相等,∠ABE=CBF=60°,利用等式的性质得到夹角相等,利用SAS得到EBFDFC全等;

②利用(1)中全等三角形对应边相等得到EF=AC,再由三角形ADC为等边三角形得到三边相等,等量代换得到EF=AD,AE=DF,利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形;

③当AE=AD时,ADFE是菱形,可以用邻边相等的平行四边形是菱形判断即可;

④当∠BAC=150°,由此可求得∠EAD的度数,则可得ADFE是矩形,由此即可判断;

∵△ABE、BCF为等边三角形,

AB=BE=AE,BC=CF=FB,ABE=CBF=60°,

∴∠ABEABF=FBCABF,即∠CBA=FBE,

ABCEBF中,

∴△ABC≌△EBF(SAS),

EF=AC,

又∵△ADC为等边三角形,

CD=AD=AC,

EF=AD=DC,

同理可得ABC≌△DFC,

DF=AB=AE=DF,

∴四边形AEFD是平行四边形;

∴∠FEA=ADF,

∴∠FEA+AEB=ADF+ADC,即∠FEB=CDF,

FEBCDF中,

∴△EBF≌△DFC(SAS),故①正确,

EB=DF,EF=DC.

∵△ACDABE为等边三角形,

AD=DC,AE=BE,

AD=EF,AE=DF

∴四边形AEFD是平行四边形;故②正确,

AB=AC,则AE=AD,四边形AEFD是菱形此,

ABC满足AB=AC时,四边形AEFD是菱形;故③正确;

若∠BAC=90°,则平行四边形AEFD是矩形;

由(1)知四边形AEFD是平行四边形,则∠EAD=90°时,可得平行四边形AEFD是矩形,

∴∠BAC=360°60°60°90°=150°,

ABC满足∠BAC=150°时,四边形AEFD是矩形;

∴∠BAC=90°,四边形AEFD不是矩形;故④错误,

故选:C.

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