Question

在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若BD=BC，且AB=20，求BC的长．

Answer 1

考点：黄金分割

专题：计算题

分析：设∠C=2x，利用等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C=2x，∠BDC=∠C=2x，再根据角平分线的定义得∠ABD=∠CBD=

1

2

∠ABC=x，利用三角形外角和计算出∠A=x，则∠A=∠ABD，所以DA=DB，于是得到AD=BD=BC，再证明△ABC∽△BDC，则AC：BC=BC：CD，所以AC：AD=AD：CD，根据黄金分割的定义得到D点为AC的黄金分割点，所以可计算出AD=

5 -1

2

AC=10

5

-10，即有BC=10

5

-10．

解答：解：设∠C=2x，
∵AB=AC=20，
∴∠ABC=∠C=2x，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠C=2x，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=

1

2

∠ABC=x，
∵∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠A=2x-x=x，
∴∠A=∠ABD，
∴DA=DB，
∴AD=BD=BC，
∵∠C=∠ABC=∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，
∴AC：BC=BC：CD，
∴AC：AD=AD：CD，
∴D点为AC的黄金分割点，
∴AD=

5 -1

2

AC=

5 -1

2

•20=10

5

-10，
∴BC=10

5

-10．

点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．