Question

【题目】在一次数学社团活动中，指导老师给同学们提出了以下问题：

问题：有67张卡片叠在一起，按从上而下的顺序先把第一张拿走，把第二张放到底层，然后把第三张拿走，再把第四张放到底层，如此进行下去，直至只剩最后一张卡片.问仅剩的这张卡片是原来的第几张卡片？

由于卡片数量较多，指导老师建议同学们先对较少的张数进行尝试，以便熟悉游戏规则并发现一些规律！

（1）请你试着在草稿纸上进行试验，将试验结果填写在下表中：

试验的卡片数量 （张）	2	4	8	9	10	11
剩下最后一张卡片是 原来卡片的第几张

（2）根据试验结果的规律，回答最初的67张卡片情形，请你给出答案并简要说明理由.

Answer 1

【答案】（1）表格依次填2、4、8、2、4、6；（2）最初是67张卡片，最后剩下的是原来的第6张，理由见解析

【解析】

（1）根据题意依次确定每次拿走的是第几张，即可得到剩下的一张是原来的第几张；

（2）根据前面的结果可以得到最初64张卡片时最后剩下的是原来的第64张，依此推理得到最初67张卡片时的最后一张是原来的第几张即可得到答案.

（1）根据题意：

当卡片是2张时，第一次拿走第1张，剩下的是第2张，

当卡片是4张时，第一次拿走第1张和第3张，第二次拿走第2张，剩下的是第4张，

当卡片是8张时，第一次拿走第1张、第3张、第5张、第7张，第二次拿走第2张、第6张，第三次拿走第4张，剩下的是第8张，

当卡片是9张时，第一次拿走第1张、第3张、第5张、第7张、第9张，第二次拿走第4张、第8张，第三次拿走第6张，剩下的是第2张，

当卡片是10张时，第一次拿走第1张、第3张、第5张、第7张、第9张，第二次拿走第2张、第6张、第10张，第三次拿走第8张，剩下的是第4张，

当卡片是11张时，第一次拿走第1张、第3张、第5张、第7张、第9张、第11张，第二次拿走第4张、第8张，第三次拿走第2张、第10张，剩下的是第6张，

故答案为：2、4、8、2、4、6；

（2）根据实验结果进行规律总结，直角判断若最初64张卡片，最后剩下的是第64张，最初是67张卡片，最后剩下的是原来的第6张，理由如下：

最初是67张卡片时，第一次拿走第1张、第3张、第5张、第7张、第9张、第11张、、第67张，

第二次拿走第4张、第8张、第12张、、第64张，

第三次拿走第2张、第10张、第18张、第26张、第34张、第42张、第50张、第58张、第66张，

第四次拿走第14张、第22张、第30张、第38张、第46张、第54张、第62张，

∴最后剩下的是原来的第6张.