Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E是AB边上一点，F是AD延长线上一点，BE＝DF.

(1)求证：CE＝CF；

(2)若点G在AD边上，且∠GCE＝45°，BE＝3，DG＝5，求GE的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)8.

【解析】（1）根据正方形性质，由(SAS)证△CBE≌△CDF，可得CE＝CF；

（2）由（1）△CBE≌△CDF，得∠BCE＝∠DCF，故∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，因此，∠ECF＝∠BCD＝90°，再证∠GCF＝∠ECF－∠GCE＝45°＝∠GCE，可证得△ECG≌△FCG，所以GE＝GF＝DG＋DF＝DG＋BE.

(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝DC，∠B＝∠FDC＝90°.

在△CBE和△CDF中，

EB=DF，∠B＝∠FDC，BC＝DC，

∴△CBE≌△CDF(SAS)，

∴CE＝CF；

(2)解：由(1)得△CBE≌△CDF，

∴∠BCE＝∠DCF，

∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，

即∠ECF＝∠BCD＝90°.

又∵∠GCE＝45°，

∴∠GCF＝∠ECF－∠GCE＝45°＝∠GCE.

∵在△ECG与△FCG中，

CE=CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，

∴△ECG≌△FCG(SAS)，

∴GE＝GF＝DG＋DF＝DG＋BE＝3＋5＝8.